Definitionsbereich der Lösung einer DGL

15.11.2012, 21:19

co0kie

Definitionsbereich der Lösung einer DGL

Hallo!

Ich habe hier folgende Aufgabe, an der ich einfach nur verzweifle:

Zitat:

Betrachte die DGL $\begin{eqnarray*} \dot x = f(x), x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , wobei f lokal Lipschitz-stetig ist und $\begin{eqnarray*} a_1 < a_2 < ... < a_n \end{eqnarray*}$ eine endliche Anzahl von Nullstellen von f ist. Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} (t_0,x_0) \in \mathbb R² \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1 \leq x_0 \leq a_n \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Okay. Mein Ansatz: Da $\begin{eqnarray*} \phi(t) \end{eqnarray*}$ Lösung ist, erhält man durch Einsetzen $\begin{eqnarray*} \dot \phi(t) = f(\phi(t)) \end{eqnarray*}$ und stellt das zu $\begin{eqnarray*} \frac{\dot \phi(t)}{f(\phi(t))} = 1 \end{eqnarray*}$ um. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{f(x)} \end{eqnarray*}$ existiert für die offenen Intervalle $\begin{eqnarray*} (a_i,a_{i+1}) \end{eqnarray*}$ , das heißt es existiert eine umkehrbare Funktion $\begin{eqnarray*} F: (a_i,a_{i+1}) \longrightarrow (b_i,b_{i+1}), x \mapsto \int_{x_0}^x \! \frac{1}{f(s)} \, ds \end{eqnarray*}$ .
Also hat man $\begin{eqnarray*} 1 = \frac{\dot \phi(t)}{f(\phi(t))} =F'(\phi(t))\dot \phi(t) \end{eqnarray*}$ . Integrieren beider Seiten liefert. Ich wollte jetzt integrieren und nach Phi umstellen, aber irgendwie krieg ich das nicht hin. Und dass die t aus ganz R sein dürfen, kriege ich irgendwie auch nicht gezeigt. Hat jemand einen Tipp? Bin ich vielleicht komplett auf dem Holzweg?

16.11.2012, 07:44

Cugu

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Mein Ansatz: Keine Rechnung, dafuer aber Satz von Picard-Lindeloef + Satz vom maximalen Existenzintervall

16.11.2012, 18:18

co0kie

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Zitat:

Original von Cugu
Mein Ansatz: Keine Rechnung, dafuer aber Satz von Picard-Lindeloef + Satz vom maximalen Existenzintervall

Okay, also wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ zwischen zwei Nullstellen $\begin{eqnarray*} a_i,a_{i+1} \end{eqnarray*}$ betrachte, dann komme ich mit Picard darauf, dass es eine eindeutige Lösung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I=[t_0+\frac{a_{i+1}-a_i}{M},t_0-\frac{a_{i+1}-a_i}{M}] \end{eqnarray*}$ gibt. M ist hierbei der maximale Funktionswert im Intervall $\begin{eqnarray*} (a_i,a_{i+1}) \end{eqnarray*}$ , der ja existiert, weil f lokal Lipschitz ist.

Ein weiterer Satz aus der Vorlesung sagt mir jetzt, dass es nun auch eine eindeutige nicht-forsetzbare Lösung geben muss. Die Frage ist nun, wie komme ich darauf, dass deren Definitionsbereich auch tatsächlich ganz R ist? Diesen "Satz vom maximalen Existenzintervall" kenne ich leider nicht bzw. weiß nicht, ob ich den hier überhaupt benutzen darf. Vorschlag, wie ich weiter vorgehen könnte?

16.11.2012, 20:51

Cugu

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Zitat:

Ein weiterer Satz aus der Vorlesung sagt mir jetzt, dass es nun auch eine eindeutige nicht-forsetzbare Lösung geben muss.

Das ist der Satz, den ich meine. Wie ist der genau formuliert worden?

16.11.2012, 21:07

co0kie

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Zitat:

Original von Cugu

Zitat:

Ein weiterer Satz aus der Vorlesung sagt mir jetzt, dass es nun auch eine eindeutige nicht-forsetzbare Lösung geben muss.

Das ist der Satz, den ich meine. Wie ist der genau formuliert worden?

"Wenn es eine eindeutige Lösung gibt, die auf einer Umgebung $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist, existiert eine nicht-fortsetzbare Lösung."

Aber über den Definitionsbereich dieser nicht-fortsetzbaren Lösung wird nichts ausgesagt. Im Beweis kommt höchstens vor, dass der Definitionsbereich wohl der Zusammenschluss der Definitionsbereiche aller Lösungen ist... Aber selbst wenn ich das anwende, bekomme ich ja nur wieder ein endliches Intervall, wenn ich endliche Intervalle vereinige. Also von ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ kann da ja nicht die Rede sein :/

16.11.2012, 22:19

Cugu

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Wir nehmen an, dass die Lösung nur auf $\begin{eqnarray*} (-\infty,b) \end{eqnarray*}$ definiert ist. (*)
Wir betrachten den Quader $\begin{eqnarray*} [t_0,b]\times [a_i,a_{i+1}] \end{eqnarray*}$ . Was gilt für eine Folge $\begin{eqnarray*} (t_k,x(t_k)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t_k\to b \end{eqnarray*}$ ?
Du bekommst einen neuen Punkt an dem du Picard-Lindelöf anwenden kannst.
Welcher ist das? Wie kannst du sicherstellen, dass du die beiden Lösungen zu einer größeren Vereinigen kannst, die im Widerspruch zur Annahme (*) steht?
Ja, das klappt.

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