Multinomialkoeffizient als Produkt von Binomialkoeffizienten

15.11.2012, 21:42	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
Multinomialkoeffizient als Produkt von Binomialkoeffizienten Meine Frage: $\begin{eqnarray} n_{1}, n_{2},..., n_{k} \in \mathbb N _{0} , k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n= \sum\limits_{i=1}^k n_{i} \end{eqnarray}$ werden defniert durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ n_{1}, n_{2},..., n_{k} \end{pmatrix}= \frac{n!}{n_{1}! n_{2}!...n_{k}! } \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass der Multinomialkoeffizient auch durch Produkte von Binomialkoeffizienten ausgedrückt werden kann, indem Sie die Richtigkeit folgender Formel beweisen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ n_{1}, n_2,...,n_{k} \end{pmatrix} = \prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also ich habe mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ n_{1}, n_2,...,n_{k} \end{pmatrix} =\prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2} \\ n_{2} \end{pmatrix} ... \begin{pmatrix} n_{1}+ n_{2}+...n_{i} \\ n_{i} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Da weiß ich nicht mehr weiter Kann mir jemand helfen? Danke! Claritia
15.11.2012, 21:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
einfacher geht's kaum... Von der Fakultätsdarstellung $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray}$ des Binomialkoeffizienten hast du doch gewiss schon mal gehört! Einfach einsetzen, kürzen, fertig.
18.11.2012, 12:56	claritia	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multinomialkoeffizient als Produkt von Binomialkoeffizienten Danke! Also ich habe mir folgendes gerechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ n_{1}, n_2,...,n_{k} \end{pmatrix} =\prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2} \\ n_{2} \end{pmatrix} ... \begin{pmatrix} n_{1}+ n_{2}+...n_{i} \\ n_{i} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod\limits_{i=1}^k \begin{pmatrix} n_{1}+n_{2}+...+n_{i} \\ n_{i} \\ \end{pmatrix}= \frac{n_{1}!}{n_{1}!* (n_{1}-n_{1})!} * \frac{(n_{1}+n_{2})! }{n_{2}!(n_{1}+n_{2}- n_{2})!} ...\frac{(n_{1}+n_{2}+...+ n_{i})!}{n_{i}!(n_{1}+n_{2}+...+n_{i}- n_{i})!} \end{eqnarray}$ .... dann kommt heraus, wenn man einiges weggekürzt hat: $\begin{eqnarray} 1* \frac{(n_{1}+n_{2}+...+n_{i})! }{n_{1}!* n_{2}!* n_{3}!....n_{k}! } \end{eqnarray}$ Ist das das Ergebnis? Wie komme ich von dort auf die zu beweisende Form? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ n_{1}, n_2,...,n_{k} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Liebe Grüße Claritia

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