Wallisches Produkt

15.11.2012, 22:36

schwarzerTee

Wallisches Produkt

Hi,

wenn wir von

p_n = 2/1 * 4/3 * 6/5 * ... * 2n/(2n-1) ausgehen, so gilt für das Wallische Produkt

w_n = (p_n)^2 * 1/(2n+1).

p sei der Grenzwert von p_n / wurzel(n).

Der Grenzwert des Wallischen Produkts ist gleich pi/2.

Jetzt meine Frage: wieso folgt nun, dass pi/2 = (p^2)/2 gilt?

Besten Dank im Voraus. Augenzwinkern

(kann sein, dass ich was wichtiges weggelassen habe, dann einfach Bescheid sagen..)

15.11.2012, 23:47

Bronco Bamma

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RE: Wallisches Produkt
Sei:

$\begin{eqnarray*} p:=\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{\sqrt{n}}. \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{p^2}2=\lim_{n\to\infty}\frac{(p_n)^2}{2n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(p_n)^2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{2n}\right)=\frac{\pi}2. \end{eqnarray*}$

Jetzt klar?

16.11.2012, 07:30

schwarzerTee

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Bis zum letzten Gleichheitszeichen ist alles klar, aber weshalb

lim (p_n)^2 * 1/(2n+1) = lim w_n = (p_n)^2 * 1/(2n+1) * (2n+1)/2n

gilt, verstehe ich noch nicht. Augenzwinkern

16.11.2012, 07:45

HAL 9000

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Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{p_n^2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{2n}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{p_n^2}{2n+1} ~\cdot~ \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

Der erste Grenzwert rechts ist der Grenzwert des Wallisschen Produkts, den du eigenem Bekunden nach

Zitat:

Original von schwarzerTee
Der Grenzwert des Wallischen Produkts ist gleich pi/2.

ja bereits kennst. Und der zweite Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n} = 1 \end{eqnarray*}$ sollte ja wohl mit Basiskenntnissen der Grenzwertrechnung klar sein.

16.11.2012, 08:50

Bronco Bamma

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Zitat:

Original von HAL 9000
... Und der zweite Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n} = 1 \end{eqnarray*}$ sollte ja wohl mit Basiskenntnissen der Grenzwertrechnung klar sein.

Da bin ich nun aber auch überrascht, dass es da noch eines Hinweises bedurfte.

Mich hatte eigentlich zunächst nur Deine Darstellung des Wallisschen Produktes kurz irritiert, da ich es nur in dieser Form

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^\infty\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \end{eqnarray*}$

im Kopf hatte.

Aber wegen

$\begin{eqnarray*} 1=\frac 1{2n+1}\prod_{k=1}^n\frac{2k+1}{2k-1} \end{eqnarray*}$

gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2n+1}\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k}{2k-1}\right)^2=\prod_{k=1}^n\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}. \end{eqnarray*}$

16.11.2012, 13:28

schwarzerTee2

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Jetzt ist natürlich alles klar, da hab ich nicht gesehen, dass lim (2n+1)/2n = 1 gilt... dachte eher an unendlich Hammer

Einfach 2n durch 2n kürzen (=1) und 1/2n geht gegen Null.

Danke Augenzwinkern

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