Beweis zu Folgenkonvergenz

15.11.2012, 23:12

Kernie

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Beweis zu Folgenkonvergenz

Hallo,
ich soll folgende Aufgabe lösen:

Gegeben ist eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<c<1 \end{eqnarray*}$ . Es gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \le c \cdot |a_n-a_{n-1}| \end{eqnarray*}$
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich habe mir die Aussage zuerst einmal an einem Beispiel klar gemacht. Die Ungleichung bedeutet ja, dass der Abstand zum nächsten Folgenglied kleiner gleich dem Abstand zum vorherigen Folgenglied ist (verkleinert durch einen Faktor $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ). Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist, wie ich diesen Faktor in den Beweis einbringen soll.
Da hier ja Folgenglieder (bzw. deren Abstände) gegeneinander abgeschätzt werden, dachte ich zuerst an das Cauchy-Kriterium, aber ich habe keine Idee, wie ich anfangen soll.
Kann mir da jemand etwas Starthilfe geben?

15.11.2012, 23:50

zweiundvierzig

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Dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist hier eine feste Konstante, d.h. dass es nicht vom Schritt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt, sondern in jedem Schritt in der Abschätzung auftaucht. Welche Bedingung ist denn äquivalent zur Konvergenz von Folgen?

16.11.2012, 07:11

Kernie

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Ich bin einfach mal die Kriterien durchgegangen, die ich kenne:

1. Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist.
Aus der gegebenen Ungleichung kann man aber nicht auf die Monotonie schließen, also fällt dieses Kriterium weg.

2. Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n \ge N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Selbst, wenn man annimmt, dass ein Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ existiert, würde man doch an dieser Stelle schon hängen bleiben, weil man die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nicht kennt, oder?

3. Beim Cauchy-Kriterium wüsste ich nicht, genau wie beim Epsilon-Kriterium, wie man anfängt, wenn man die genaue Folge nicht kennt.

16.11.2012, 07:52

RavenOnJ

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Cauchy funktioniert schon. Du kannst aber auch mal zu einer bestimmten Reihe übergehen und deren Konvergenz zeigen, woraus dann die Konvergenz der Folge folgt.

16.11.2012, 08:21

Bronco Bamma

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_0|=\left|\sum_{k=0}^n a_{k+1}-a_k\right|<c^n|a_1-a_0|\longrightarrow 0. \end{eqnarray*}$

Damit sollte sich was machen lassen.

16.11.2012, 08:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bronco Bamma
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_0|=\left|\sum_{k=0}^n a_{k+1}-a_k\right|<c^n|a_1-a_0|\longrightarrow 0. \end{eqnarray*}$

Ganz so einfach ist es nicht. Aber:

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_0|=\left|\sum_{k=0}^n a_{k+1}-a_k\right|\le \sum_{k=0}^n |a_{k+1}-a_k|\le \sum_{k=0}^n c^k|a_1-a_0| =|a_1-a_0| \sum_{k=0}^n c^k = |a_1-a_0| \frac{1-c^{n+1}}{1-c} \end{eqnarray*}$

ist also auch im Limes beschränkt.

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16.11.2012, 08:52

Bronco Bamma

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Ganz so einfach ist es nicht...

Oha, keine Ahnung was mich da geritten hat Hammer

Hammer

16.11.2012, 09:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bronco Bamma

Oha, keine Ahnung was mich da geritten hat Hammer

Hammer

Es steht also 1:1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

(kleiner Scherz)

16.11.2012, 09:06

Bronco Bamma

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1:1 nach Eigentoren - so sieht's aus.
Ich sollte nicht vorm ersten Kaffee posten sonst gibt's ne Klatsche...

16.11.2012, 09:59

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Bronco Bamma
1:1 nach Eigentoren - so sieht's aus.
Ich sollte nicht vorm ersten Kaffee posten sonst gibt's ne Klatsche...

klar, hier werden nur Eigentore gezählt Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.11.2012, 14:00

Kernie

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Danke für eure Antworten!
Leider verstehe ich eure Vorgehensweise nicht. Warum wird $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_0| \end{eqnarray*}$ betrachtet? Und was gibt mir der berechnete Grenzwert an? verwirrt

verwirrt

16.11.2012, 14:12

Sly

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Im Grunde nutzt man hier die (a priori komplizierte) Umformung

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_0+\sum_{k=0}^n a_{k+1}-a_k \end{eqnarray*}$

Das hat aber den Vorteil, dass man die Voraussetzung gut verwurschteln kann.

16.11.2012, 15:38

Kernie

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Danke, Sly! Diesen Trick hätte ich eigentlich kennen müssen. Hammer

Hammer

Die Rechnung habe ich jetzt verstanden, aber die Idee ist mir immer noch nicht ganz klar. Man weiß jetzt, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_0| \le |a_1-a_0| \cdot \frac{1}{1-c} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ , d.h. Grenzwert ist durch einen konstanten Faktor beschränkt. Aber was nützt mir diese Aussage im Bezug auf die Konvergenz? Es steht ja auch noch das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ im Betrag auf der linken Seite.

16.11.2012, 15:48

Sly

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Der Punkt ist eher, dass man die absolute Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_{k+1}-a_k \end{eqnarray*}$ durch diese Abschätzung gezeigt hat. Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz der Reihe, und daraus folgt auch das gleiche für die Folge.

16.11.2012, 17:45

Kernie

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Ach so, das heißt dann:
Weil die Reihe (absolut) konvergiert, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_0+\sum\limits_{k=0}^n (a_{k+1}-a_k) \end{eqnarray*}$ gilt, und $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ konstant ist, konvergiert $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .
Ist das richtig?

17.11.2012, 16:09

Kernie

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Dazu habe ich jetzt doch noch mal eine Frage. Wieso folgt aus der Abschätzung die absolute Konvergenz der Reihe? Es wird ja nur gezeigt, dass der Betrag kleiner ist als eine bestimmte Konstante. Das heißt doch, es könnte auch negative Folgenglieder geben, sodass sich die Reihe wieder von dem Grenzwert entfernt und die Reihe damit nicht zwangsläufig konvergiert.

17.11.2012, 16:39

Sly

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Das sollten dir deine Vorlesungunterlagen beantworten. Absolute Konvergenz einer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ ist gerade dann gegeben, wenn $\begin{eqnarray*} \sum | a_n | < \infty \end{eqnarray*}$

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