lr-zerlegung pivotelement 0

16.11.2012, 01:48	eiffel	Auf diesen Beitrag antworten »
lr-zerlegung pivotelement 0 Meine Frage: hallo man stelle sich folgende matrix vor: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der erste schritt ist trivial. wenn ich nun das pivotelement (spaltenpiv.) suche, ist dieses ja im zweiten schritt immer noch immer 1 und es ist egal welche zeile (2 oder 3) ich nehme. mache ich dann die ersten schritte in R, steht an stelle 2,2 dann aber 1-1/11=0 und ich kriege damit probleme beim teilen in L (stelle 3,2). Meine Ideen:* jetzt ist diese matrix natürlich gar nicht invertierbar und die zerlegung kann auch gar nicht klappen. ist es aber theoretisch möglich, dass auch in einer invertierbaren matrix so ein fall auftritt (für ein bestimmtes pivotelement, also sodass bei anderer wahl dort keine 0 entsehen würde und die zerlegung durchgeht)?
16.11.2012, 07:34	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ist $\begin{eqnarray} \det(A) \neq 0 \end{eqnarray}$ , so ist die LR-Zerlegung mit Spaltenpivotisierung durchfuehrbar. 2. Die Determinante ist eine normierte alternierende Multilinearform, also invariant gegenueber den Umformungen der LR-Zerlegung. Folglich hat die Wahl der Pivotelemente keinen Einfluss auf die Durchfuehrbarkeit. Nichtsdestoweniger gibt es invertierbare Matrizen bei denen irgendwann pivotisiert werden muss. Das sind all jene, die eine Hauptunterdeterminante gleich null besitzen, z.B. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} . \end{eqnarray}$

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