Gleichgewichtspunkte DGL-System

16.11.2012, 11:57

doott

Gleichgewichtspunkte DGL-System

Hallo,

ich habe die folgenden Gleichungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} \ddot w = -\frac{g}{x_{0}+x} \sin(w) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ddot x = (x_{0} + x) w^2 + g\cos(w) - \frac{d}{m} \dot x - \frac{c}{m}x \end{eqnarray*}$

Davon soll ich die Gleichgewichtspunkte errechnen. Ich weiß, dass die ersten Ableitungen 0 sein müssen. Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \ddot w = -\frac{g}{x_{0}+x} \sin(w) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ddot x = (x_{0} + x) w^2 + g\cos(w) - \frac{c}{m}x \end{eqnarray*}$

Doch nun kann ich nach keiner Variabel auflösen. Wie muss ich weiter vorgehen? Irgendwie steh ich da aufm Schlauch.

Viele Grüße

17.11.2012, 09:44

doott

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weiß keiner Bescheid?

17.11.2012, 11:57

Cugu

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Doch schon. Weißt du denn prinzipiell, was du machen musst, also wie ein Gleichgewicht eines DGL-Systems definiert ist?

Zitat:

Ich weiß, dass die ersten Ableitungen 0 sein müssen

Hm, im grunde reicht das sogar. Was gilt denn dann für höhere Ableitungen?

18.11.2012, 12:30

doott

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Hallo,

erst dachte ich, dass die höheren Ableitungen dann auch 0 sind, sodass ich das einfach ausrechnen kann. Jetzt wude mir jedoch gesagt, dass das nicht stimmt. Daher weiß ich leider nicht weiter.

Ich dachte daran, die beiden Gleichungen in ein System erster Ordnung umzuwandeln. Dabei habe ich jedoch auch Schwierigkeiten. Ich kann jede der beiden Gleichungen in ein System erster Ordnung umwandeln, aber wie kriege ich dann diese beiden System zusammen?

Vielen Dank

18.11.2012, 14:12

Cugu

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Zitat:

erst dachte ich, dass die höheren Ableitungen dann auch 0 sind, sodass ich das einfach ausrechnen kann. Jetzt wude mir jedoch gesagt, dass das nicht stimmt.

Natürlich sind die dann auch gleich null, was auch sonst. Dann hat wohl irgendjemand Mist erzählt.

Zitat:

Ich dachte daran, die beiden Gleichungen in ein System erster Ordnung umzuwandeln.

Ja, so defniert man eigentlich ein Gleichgewicht, also als Nullstelle der rechten Seite des zugehörigen Systems, aber du wirst feststellen, dass das zum selben Gleichungssystem wie dein erster Ansatz führt. (*)

Zitat:

Ich kann jede der beiden Gleichungen in ein System erster Ordnung umwandeln

Mach das doch einfach mal!

----
(*) Und zwar gilt das ganz allgemein:
Sei das DGL-System $\begin{eqnarray*} \ddot u = f(u,\dot u) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f:X\times X \to X \end{eqnarray*}$ gegeben.
Dabei kann $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ irgendein vollständiger normierter Vektorraum sei.
Setze $\begin{eqnarray*} v=\dot u \end{eqnarray*}$ und erhalte das System bestehend aus $\begin{eqnarray*} \dot v =f(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot u=v \end{eqnarray*}$ .
Es muss dann $\begin{eqnarray*} 0=f(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0=v, \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 0=f(u,0) \end{eqnarray*}$ sein.
Das ist aber nichts anderes als beide Ableitungen des DGL-Systems durch null zu ersetzen.

18.11.2012, 16:19

doott

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Hallo Cugu,

vielen Dank für deine Antwort. Ok, dann war meine Anfangsidee ja doch gar nciht so verkehrt. Ich habe also alle Ableitungen 0 gesetzt und folgende Rechnung durcgeführt:

$\begin{eqnarray*} <br /> 0 = -\frac{g}{x_{0}+x} \sin(w)<br /> \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} w = -(2k+1) \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Durch Einsetzen in

$\begin{eqnarray*} <br /> x = g\cos(w)\frac{m}{c}<br /> \end{eqnarray*}$

x=0

Ist das richtig? Ich war mir bei erster Rechnung nicht ganz klar.

18.11.2012, 16:36

doott

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Ach und ich habe mal versucht ein System der DGLs auf zustellen. Könnt ihr da auch mal drüber schauen:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\begin{pmatrix} x \\ \dot x \\ w \\ \dot w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot x \\ (x_{0}+x)\dot w^2+g\cos(w)-\frac{d}{m}\dot x-\frac{c}{m}x \\ \dot w \\ -\frac{g}{x_{0}+x}\sin(w)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke!! smile

18.11.2012, 16:43

Cugu

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Die Rechnung ist falsch! Wie kommst auf die Werte für $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ?

Das d/dx bei dem System muss durch eine Zeitableitung ersetzt werden!

18.11.2012, 17:03

doott

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indem ich die erste gleichung nach w augelöst habe.

Wie muss ich es denn machen?

Danke für deine Hilfe!

18.11.2012, 17:17

doott

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Man sollte mit dem Sinus umgehen können Big Laugh