Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn eine andere konvergiert

16.11.2012, 13:45

Jefferson1992

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn eine andere konvergiert

Hallo Mathe Board,

Ich habe eine Kurze Ansatzfrage für folgende Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Folge reeller Zahlen.
Zeigen Sie, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$
genau dann konvergiert, wenn die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{n}a_{2^{n} } \end{eqnarray*}$
konvergiert.

Wie genau sollte da mein Ansatz aussehen?

16.11.2012, 13:52

Sly

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Zunächst mal: Die Folge ist zudem als positiv gegeben, oder? Sonst ist das falsch, denke ich.

Versuch mal, die erste Reihe in ganz viele Teilsummen aufzuspalten, um sie mit der zweiten Reihe vergleichen zu können.

16.11.2012, 13:58

lgrizu

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Positiv und monoton fallend ist glaub ich das Kriterium für Cauchy, und um das Verdichtungskriterium handelt es sich ja hier.

16.11.2012, 14:14

Jefferson1992

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Genau das ist mein Problem.
Wir haben bis jetzt nur Reihen gemacht, wo die Folgen angegeben waren.
Jetzt ist es ja ziemlich allgemein.

Wie stell ich da jetzt Teilsummen auf?

Danke smile

okay, hat sich erledigt, ist ja einfacher als ich dachte. Nun hänge ich an einem Schritt fest.

Also ich muss ja beweisen,d ass wenn eine der beiden konvergiert,d as dann auch die andere konvergiert und andersrum.

Jetzt habe ich Partialsummen aufgestellt:

Für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^N 2^{n}a_{2^{n} }=a_{1}+(a_{2}+a_{2})+(a_{4}+a_{4} +a_{4} +a_{4})+...+2^{N}*a_{2^{N} } \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^N a_{n} =a_{1}+a_{2}+...+a_{N} \end{eqnarray*}$

Jetzt sehe ich, dass Die obere Summe viel schneller wächst, als die untere, aber was sagt mir das über Konvergenz aus?

Ich verstehe das Thema nicht so ganz.. sorry

16.11.2012, 15:03

Sly

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Bisschen selber nachdenken musst du schon, hier werden keine Lösungen verschenkt.

Zitat:

Wie stell ich da jetzt Teilsummen auf?

Genau das solltest du dir ja überlegen. Bisher kam dazu nichts, denn ich gab den Tipp, die erste Reihe aufzuspalten. Du hast bislang lediglich die zweite Reihe komplizierter ausgeschrieben.

Um eine Idee zu bekommen, versuch doch mal, die Partialsummen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{2^N-1} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^N 2^n a_{2^n} \end{eqnarray*}$ zu vergleichen für $\begin{eqnarray*} N=1,2,3 \end{eqnarray*}$ . Schreibe die richtig aus und schau, wie dir Monotonie helfen könnte.

16.11.2012, 15:13

Jefferson1992

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okay, ich versuchs

Also Partialsummen sind ja folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n a_{k} \end{eqnarray*}$

Dann für dein Beispiel wäre das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{2^N-1} a_n=a_{1}+a_{3}+a_{7} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^N 2^n a_{2^n}=a_{1}+4*a_{4}+8*a_{8} \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig?

16.11.2012, 15:51

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sly
Zunächst mal: Die Folge ist zudem als positiv gegeben, oder? Sonst ist das falsch, denke ich.

Wenn ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nichtpositiv ist, gilt das für alle folgenden auch. Die ersten endlich vielen positiven Glieder kann man dann ignorieren, das Minus aus der Summe ziehen und das ganze auf den Fall positiver $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zurückführen.

16.11.2012, 16:10

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Sly
Zunächst mal: Die Folge ist zudem als positiv gegeben, oder? Sonst ist das falsch, denke ich.

aber diese Folge (ohne das Minus) ist nicht mehr monoton fallend.

16.11.2012, 16:14

Che Netzer

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Na gut, das stimmt auch wieder smile

Dann muss man halt den Fall einzeln betrachten und das Trivialkriterium anwenden...

16.11.2012, 16:55

Sly

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Zitat:

Original von Jefferson1992
okay, ich versuchs

Also Partialsummen sind ja folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} = \sum\limits_{k=1}^n a_{k} \end{eqnarray*}$

Dann für dein Beispiel wäre das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{2^N-1} a_n=a_{1}+a_{3}+a_{7} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^N 2^n a_{2^n}=a_{1}+4*a_{4}+8*a_{8} \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig?

Nein, das ist beides nicht richtig. Und für welche N versuchtest du das jetzt überhaupt? Nochmal Schritt für Schritt in die Summe einsetzen in beiden Fällen, für N=1,2,3 ! Ich hoffe, beim Umgang mit dem Summenzeichen hast du keine Probleme, sonst fehlt es an den Grundlagen für diese Aufgabe.

@ Che Netzer: Eigentlich ist mein Einwand auch egal. Wenn die Folge ein echt negatives Glied hat, ist die Folge betraglich größer einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , und daher konvergieren beide Reihen nicht. Die Äquivalenz der Aussagen stimmt also noch streng genommen.

16.11.2012, 17:17

Jefferson1992

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Also Summenzeichen kann ich normalerweise lösen..
Nur zum Verständnis, muss ich für N einmal 1 einsetzen, dann von n=1 bis zu dieser Summe, dann + für N =2 einsetzen und dann wieder von n=1 bis zu dieser Summe etc?

hmm..

17.11.2012, 22:55

Jefferson1992

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RE: Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn eine andere konvergiert
So:
Habe jetzt folgendes gefunden im Internet und dazu ein paar Fragen:

Sei zunächst die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent. Gezeigt wird, daß dann auch die
Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 2^{n} _{a2^{n} } \end{eqnarray*}$ konvergiert. Für die Partialsummen dieser Reihe gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N 2^{n} _{a2^{n} }==(a_{2}+a_{2})+(a_{4}+a_{4}+a_{4}+a_{4})+...+(a_{2^{N}}+a_{2^{N}}+...+a_{2^{N}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2*[(a_{2})+(a_{4}+a_{4})+...+(a_{2^{N}}+a_{2^{N}}+...+a_{2^{N}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq 2*[(a_{2})+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{N-1}+1}+...+a_{2^{N}-1}+a_{2^{N}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq 2*\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} <\infty \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich dazu einige Fragen, weil ich das Thema einfach nicht kapieren möchte...

1. Wie kommt man auf die Zeile nach dem $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ?
2. Warum macht man das mit dem N ?
3. Gibt es andere Beispiele, die Sie mir geben können, damit ich es üben kann?

Danke!

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