Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle) - Seite 2

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Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, guck mal hier:
[attach]26749[/attach]
Das ist das worst-case-szenario. Hier ist eine Umgebung (grün) von aus (gelb) ganz dicht am Rand. Aber man kann für jeden Punkt (rot) den Abstand (blau) vom Rand (schwarz) halbieren (lila) und eine Umbegung (rot) finden.

Kannst du das mathematisch präzisieren?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das man kann das Epsilon halbieren? Epsilon/2 oder war das was anderes?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet das einfach. Im schlimmsten Fall, wenn also die Umgebung bis zum Rand ragt, kann man das Epsilon = y-x halbieren, so dass die umgebung nicht mehr auf dem rand liegt?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nein, das stimmt nicht, es ist ja der Abstand Rand zu y... Ich weiß nicht was das bedeutet, den darf man einfach halbieren?

Mathematisch kann ich das nicht präzisieren
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halbiere ja nicht wirklich den Abstand zum Rand, ich finde nur eine Umgebung (rot) von mit (halbem) Radius des Abstands.
Die ist dann vollständig in der Umgebung grün und damit vollständig in gelb! Dann kann aber kein Randpunkt sein!

Naja, nimm , d.h. . Nach der Dreiecksungleichung liegt die Umgebung von ganz in .

Ich schreibe das jetzt einfach mal hin:


Man kann sich das Halbieren also sogar sparen!

Dann liste mal die wesentlichen Erkenntnisse auf und wir setzen das zusammen!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay!

Also zunächst:

Definition einer offenen Menge:

Für jedes x aus gibt es eine reelle Zahl , sodass jeder Punkt y des , dessen Abstand zu x kleiner ist als , in M liegt.

Da => Punkte liegen in M, aber nicht auf dem Rand Negierung der Voraussetzung des Randes :

.

Gesucht ist aber : .

. y aus ist nicht in M.
Wenn y aus nicht in M ist, muss es im Komplement sein Widerspruch zu
scheidet aus



Beweis durch Dreiecksungleichung:
,
von ganz in .

Um ehrlich zu sein, hab ich den Beweis, dass nicht so ganz verstanden!

Was ist jetzt d genau?



Könnte ich das jetzt so bei der Aufgabe hinschreiben und habe volle Punktzahl?
 
 
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist jetzt d genau?

Wähle einfach .
Zitat:
Könnte ich das jetzt so bei der Aufgabe hinschreiben und habe volle Punktzahl?

Nein!

Zitat:
Für jedes x aus gibt es eine reelle Zahl , sodass jeder Punkt y des , dessen Abstand zu x kleiner ist als , in M liegt.

Ich vermute, dass es hinten heißen soll. Wir haben jedoch ganz am Ende gezeigt, dass das egal ist.

Also fangen wir an und versuchen das zu zeigen:
Sei . Dann ist nach Definition , d.h. wir wissen und
Das heißt wir haben und
Es ist
Zitat:
.\}

aber
Zitat:
scheidet aus

Mach mal den nächsten Schritt!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich würde jetzt sagen:






Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt, aber schreib lieber .

Jetzt benutz mal:
.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ja!

.

Daraus folgt, dass die Umgebung in M ist. Ja aber was jetzt?

Muss ich da noch etwas beweisen?

Jetzt kann die Umgebung aber immernoch den Rand berühren, richtig?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen jetzt also .
Es gilt sogar Gleichheit, aber das brauchen wir nicht.

Zitat:
Jetzt kann die Umgebung aber immernoch den Rand berühren, richtig?

Und genau das kann nicht sein. Was an dem Teil des Beweises hast du nicht verstanden?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

ist doch nur eine Teilmenge von M und nicht M°?

Ich habe da nicht verstanden warum U_epsilon nicht auf dem Rand liegen kann, der gehört nicht zu (X\M)
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um ehrlich zu sein, hab ich den Beweis, dass nicht so ganz verstanden!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Achso das vorhin, das war der Beweis mit der Dreiecksungleichung?

Ja wie man eben jetzt voraussetzen kann, dass Ue nicht auf dem Rand liegt.

Wenn wir bewiesen haben, dass Ue in M liegt, wie beweise ich, dass es nur in M° liegt?

ja das ist ja im Prinzip:
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist der:
Angenommen die Implikation ist falsch. Dann gibt es ein mit .
Dann muss aber nach Definition des Inneren sein, also wie du richtig gesagt hast, ein Randpunkt von .
Genau das kann aber nicht sein, denn dann dürfte es keine Umgebung von geben, die vollständig in liegt.
(Nach Definition des Randes schneiden alle Randpunkte von sowohl als auch das Komplement von .)
Das es eine solche gibt habe ich nachgerechnet (Dreiecksungleichung).
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh! Jetzt klingt es natürlich logisch für mich! Ich bin beeindruckt, wie du mir die Sachen so schnell und einfach erklären kannst, dass ich sie verstehe Big Laugh Das hätte ich selbst nicht gedacht!

Klar

Wäre das nicht der Fall würde die Umgebung ja nur auf dem Rand liegen, aber das geht ja nicht, weil sie vollständig in M sein muss!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist genau die richtige Vorstellung dazu. Guck auch mal hier:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...tration.svg.png

Wir wissen nun .

Warum ist Teil (a) jetzt fertig?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Punkt y auf dem Rand liegt, ist seine Umgebung in M und X, aber dort in X muss die Schnittmenge aus Ue und (X\M) leer sein.

Wir sind fertig, weil wir gezeigt haben, dass jedes y in M° liegt, und zwar die y, deren Abstand zu x kleiner ist als die reelle Zahl Epsilon > 0

Aber hier noch eine Frage:

Was ist dieses Epsilon? Wenn der Abstand y zu x > Epsilon wäre, würde y dann nicht in M° liegen?

Und warum verwendest du plötzlich ein statt := ???
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist dieses Epsilon?

Das hängt von und . Hier geht es nur um die Existenz.
Ist z.B. der Mittelpunkt einer Kugel, dann ist der Radius.

Zitat:
Wenn der Abstand y zu x > Epsilon wäre, würde y dann nicht in M° liegen?

Nein, darüber wird nichts ausgesagt. Das kann so sein, muss aber nicht. Guck dir doch noch mal das gezeichnete Bild an. Da sind Punkte weit von entfernt, aber trotzdem im gelben Bereich.

bedeutet das die linke Seite durch die rechte definiert wird. Ich verwende , weil ich nur gezeigt hab, dass alle Elemente der linken Menge auch in der rechten Menge sind.
Dazu genügt es zu zeigen, dass alle Elemente der linken Menge die Voraussetzungen erfüllen, die nötig sind, um in der rechten Menge zu sein.
Für die Gleichheit müsste man noch die Rückrichtung zeigen.
Dann könnte man statt schreiben, aber nicht , denn definieren darf man alles nur einmal.

Man kann hier aber sofort sehen, dass auch gilt.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah also ist Epsilon der Abstand x zum Rand, aber in dem letzten Wikibeispiel, kann x ja überall sein und hat dann auch verschieden viele Abstände zu M.

Bei deiner Zeichnung könnte man vom x den am weitesten entfernten Punkt auf dem Rand suchen, dann hätt man den größtmöglichen Kreis oder? Achsooo! Nein der Umgebungskreis darf ja nicht aus M zum Beispiel herausragen! Jetzt hab ich es verstanden!

Also ist bei deiner Zeichnung das Epsilon, der Abstand von x zu dem Punkt wo du den Kreis angesetzt hast?




Ja stimmt, okay dann habe ich das jetzt auch verstanden!
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ah also ist Epsilon der Abstand x zum Rand, aber in dem letzten Wikibeispiel, kann x ja überall sein und hat dann auch verschieden viele Abstände zu M.


Naja das muss kleiner sein als alle Abstände zu Randpunkten. Es ist natürlich nicht eindeutig! Du kannst etwa immer ein noch kleineres finden.
In meiner Zeichnung ist das größmögliche der Radius des grünen Kreises, denn der ragt gerade nicht aus der gelben (eigentlich grün-gelben) Fläche heraus.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das größtmögliche, aber klar gibt es noch kleinere! Aber auf jeden Fall sind jetzt alle y deren abstand zu x kleiner ist als das größtmögliche Epsilon in M° also ist M° offen!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bedanke ich mich jetzt erstmal für deine Mühe und deine Geduld mit mir! Bist mir wirklich eine sehr große Hilfe und ich würde hier jetzt gerne weitermachen, aber leider muss ich weg! Wäre es möglich, wenn wir morgen mit der b) weitermachen könnten und ich überleg mir schonmal ein paar Ideen und Ansätze und versuch die selbst zu lösen?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, die (c) ist jetzt übrigens trivial, (b) machen wir morgen.

Achso, kannst du noch eben schreiben, wie ihr abgeschlossen definiert?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dankeschön! Ich überleg mir schonmal alles und meine Fragen, ich werd auch jetzt schon bisschen noch was reinschreiben!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

b) Definition einer abgeschlossenen Menge:

Für jedes außerhalb von gibt es ein , so dass jeder Punkt , ebenfalls außerhalb liegt.





Jedes x und y soll außerhalb von liegen, also in

Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

1. In der letzten Zeile fehlt eine Klammer um .
2. Überlege dir mal, dass ist, und wende es an.
3. Wenn du Teil (a) verstanden hast, ist das ab jetzt ein Kinderspiel!
(Beachte sind alle Punkte aus , die nicht auf dem Rand sind!)

Nebenbei bemerkt:
aus deinem letzten Beitrag ist die Norm des normierten Raumes.
Falls du dich fragst, warum ich bisher geschrieben habe: Weil ich zu faul für einen zweiten Strich war.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Dann so:



Und so geht es weiter:


Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst runde Klammern setzen, so wie hier . Sonst weiß niemand in welcher Reihenfolge die Operationen durchgeführt werden sollen.
Mengenklammern sind da falsch.

Was wissen wir über Punkte, die nicht auf dem Rand liegen(siehe Teil (a))?
Was folgt, wenn diese Punkte in , dem Komplement von sind?
Das ist jetzt alles fast analog zu Teil (a).
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ach klar, runde Klammern...

Ja, dass sie entweder in M oder X\M liegen, aber hier können sie nur noch in X\M liegen.

Dazu betrachten wir wieder das hier oder?



Brauch ich die Klammern hier auch noch oder ist das jetzt erkennbar wegen dem Durchschnittszeichen?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Mal tritt dieser Fall nicht ein!



Demnach läge der Punkt y in M und dies ist wieder ein Widerspruch zu


MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »








War das alles so richtig?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheNoobii
Dann so:



Und so geht es weiter:




Das untere muss so sein, aber ich kann es gerade iwie nicht bearbeiten:

Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zweifelsfall immer Klammern setzen, aber natürlich nicht um eine einzelne Menge, d.h. schreibe ruhig auch , aber natürlich nicht

Zitat:
Dieses Mal tritt dieser Fall nicht ein!

Ganz genau!
Zitat:
Demnach läge der Punkt y in M und dies ist wieder ein Widerspruch zu

Das Argument verstehe ich nicht! Das geht einfacher.

Zitat:

Da steht ein Folgepfeil und dann eine Menge, aber gar keine Aussage. Gemeint ist dies:

Achte darauf, dass du wirklich alles Notwendige hinschreibst!

Zitat:

Warum kann man das so schreiben? Gut, das hatten wir schon in Teil (a).
Das war das mit der Dreiecksungleichung. Da kannst du drauf verweisen.

Zitat:

Warum ist nun abgeschlossen?
Du hast jetzt die Definition von abgeschlossen angewandt, klar.
Schreibe aber ruhig noch einen Satz dazu hin!

Sieht inhaltlich ganz okay aus.

Teil (c) und (d) sind mit den Erkenntnissen aus (a) und (b) sehr einfach und kurz!
Die solltest du auch noch probieren!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut mach ich, ja das ist klar.

bedeutet, dass y und die Umgebung nicht in (X\M) sein dürfen, also im Komplement M.

Widerspruch: denn hier muss y und die Umgebung in (X\M) liegen, also NICHT in M.

Anders begründet kann der Fall nicht eintreten, da wir von vorne rein nur den Bereich (X\M) für gültig sehen, da es heißt für alle x, die außerhalb von M, also in (X\M) liegen.

Ach ja genau, das hab ich vergessen davor zu schreiben, ich dachte mir auch da fehlt etwas. Du hast da jetzt nur ein = gesetzt. Im Prinzip geht auch ein := aber in dem Fall gilt ja Gleichheit oder?

Jap genau, kann ich es auch damit begründen, dass wir ja die Bereiche M und den Rand quasi ausgeschlossen haben? Also ich hab ja

betrachtet und seh dass mit (X\M) der M Bereich ausgeschlossen ist und mit M geschnitten Ue noch der Rand ausgeschlossen ist, also muss y und die Umgebung eine Teilmenge von X\M und ohne Rand sein.

Ja das hätte ich jetzt nochmal genauer hingeschrieben, dass sich eben für alle x außerhalb nun alle y in X ohne M und Rand befinden und somit der Abstand x -y < epsilon ist


Okay die probiere ich jetzt und poste sobald ich was habe. Mir ist vorhin etwas dringendes dazwischen gekommen...

Erneut VIELEN DANK für deine Hilfe!
Ich hab von all dem jetzt wirklich schon einen Großteil verstanden, dafür,dass ich am Anfang noch garnichts damit anfangen konnte!
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage: Muss ich das mit der Dreiecksungleichung begründen oder genügt es zu sagen, dass das y und die Umgebung nur in (X\overlined M) sein kann, da durch den ersten Teil der Bereich M ausgeschlossen ist, und durch den 2. Teil auch der Rand von M ausgeschlossen ist, so wie ich es eins weiter oben erklärt habe?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

"" schreibt man nur, wenn etwas Neues durch die rechte Seite definiert wird.

Du hast nie gezeigt und auch nicht erklärt, dass der Rand "ausgeschlossen ist".
Du hast einfach diese Zeile hingeschrieben:
Zitat:

Da stecken, wie du selbst geschrieben hast, alle benötigten Informationen 'drin.
Die Frage war nur, wie man da hin kommt.

Wenn du das aufschreibst, musst du da noch ein bisschen Struktur und Ordnung 'reinbringen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das mit einem Gegenbeispiel begründen? Also der Annahme: Es liegt ein Punkt auf dem Rand, dann wäre die Umgebung dieses Punktes sowohl in (X\M) als auch in M.

Wegen



kann jedoch keine Umgebung von y in M liegen, da die Schnittmenge von M und Ue sonst nicht leer wäre.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Zur c) Kann ich das als Voraussetzung nehmen oder ist das nur eine Folgerung, wenn M offen ist.

Ich nehm an das ist nur eine Folgerung und ich muss jetzt begründen warum M auch offen ist und dann erklären, warum das und M° = M dann folgt oder?
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung hierbei:



.

Ist das der richtige Ansatz? Ich glaube nicht...
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