Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle) - Seite 3

19.11.2012, 18:53

Cugu

Deine Begruendung ist so nicht nachvollziehbar. Wie es richtig geht, hatten wir schon in Teil (a).

Tipps zu c)
Zeige das in drei Schritten. Du nimmst immer an, dass die linke Seite gilt und zeigst damit die rechte:
1. $\begin{eqnarray*} M^\circ = M \Rightarrow M\text{ ist offen } \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} M\text{ ist offen } \Rightarrow \partial M\cap M =\emptyset \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \partial M\cap M =\emptyset \Rightarrow M^\circ = M \end{eqnarray*}$

1. Folgt direkt aus (a)
2. M ist offen, d.h. zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gibt es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \subset M \end{eqnarray*}$ , die es nach Definition des Randes nicht geben kann, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf dem Rand liegt.
3. Folgt direkt aus der Definition des Inneren $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 19:21

MatheNoobii

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1.Mir ist klar, dass wenn M° offen ist auch M offen ist , aber wie begründe ich das?

2. Genügt es zu sagen: Dadurch, dass M offen ist, liegt keine Umgebung(x) auf dem Rand, somit muss die Schnittmenge aus dem Rand M und M leer sein.

3. M° ist so definiert, dass x und Punkte y mit Umgebung nur in M° liegen können und nicht auf dem Rand und nicht außerhalb. Somit haben M und M° dieselben Eigenschaften, also gilt: M° = M

19.11.2012, 19:30

MatheNoobii

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Meinst du das hiermit?

Der Ansatz ist der:
Angenommen die Implikation ist falsch. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y\in U_\epsilon (x) \subset M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\notin M^\circ \end{eqnarray*}$ .
Dann muss aber nach Definition des Inneren $\begin{eqnarray*} y\in \partial M = M\setminus M^\circ \end{eqnarray*}$ sein, also wie du richtig gesagt hast, ein Randpunkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
Genau das kann aber nicht sein, denn dann dürfte es keine Umgebung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geben, die vollständig in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.
(Nach Definition des Randes schneiden alle Randpunkte von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als auch das Komplement $\begin{eqnarray*} X\setminus M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .)

Also kann ich es so hinschreiben?

Aber ich versteh eigentlich warum meine Begrüundung nicht nachvollziehbar ist.

Würde ein y auf dem Rand liegen, so hätte dieser Punkt doch eine Umgebung, diese würde sowohl in M als auch in X\M liegen, das kann man ja aus der Definition des Randes : $\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$ herauslesen.

Wie haben jetzt aber den Fall M\Rand von M und die Negierung vom Rand von M und in dieser kann eine Umgebung nur vollständig in M liegen, also wäre es doch nicht möglich, dass der punkt y auf dem rand liegt, da die Umgebung dann eben nicht vollständig in M läge, sondern auch in X\M.. Für mich ist das logsich Big Laugh

19.11.2012, 20:17

MatheNoobii

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Also die d) und e) verstehe ich auch nicht so wirklich.

Hab ich die e) nicht im Prinzip schon in a) und b) gemacht?

19.11.2012, 20:40

Cugu

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Die Begruendung ist nicht nachvollziehbar, weil sie falsch ist. Die einzelnen Aussagen stimmen, aber die Begruendung ist falsch. Das ist so wie: " $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist nicht durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilbar, weil $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist".

Zitat:

Genau das kann aber nicht sein, denn dann dürfte es keine Umgebung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geben, die vollständig in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.

Niemand sagt, dass es die geben muss, erst recht nicht, wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf dem Rand und damit gar nicht in $\begin{eqnarray*} X\setminus \overline M \end{eqnarray*}$ liegt. Diese Umgebung muss es fuer $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben. Uebriegens bist du mit den Mengen durcheinander gekommen. Du meinst $\begin{eqnarray*} X\setminus M \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Hab ich die e) nicht im Prinzip schon in a) und b) gemacht?

Nein.

19.11.2012, 20:46

MatheNoobii

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Okay und wie mache ich nun mit der c) weiter

bei d) und e) weiß ich nicht was ich machen soll...

20.11.2012, 15:04

Cugu

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Bei der (c) musst du das nur alles vernuenftig aufschreiben, inhaltlich ist die fertig.
Wenn z.B. zwei Mengen gleich sind und die eine ist offen, dann ist da nicht viel zu begruenden: Die andere ist dann auch offen!

Bei der (d) ist zu zeigen, dass ein Punkt genau dann im Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt, wenn es eine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt die gegen diesen Punkt konvergiert. Das ist aequivalent dazu, dass es in jeder Umgebung dieses Punktes (mindestens) einen Punkt aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt.
Benutze hier die Definition des Randes und die Offenheit des Komplements von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ (siehe (b)).

Bei der (e) sollst du die beiden Mengen fuer das gegebene Beispiel hinschreiben.
Hier verwendest du, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und das Komplement dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegen.

20.11.2012, 15:51

MatheNoobii

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Also genügt das so? Nochmal schön mit den Definitionen aufgeschrieben in guter Reihenfolge?

M = M° , Dies folgt direkt aus der Definition M° := M\Rand

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M° = M

Sind zwei Mengen gleich und ist die eine offen, so ist die andere auch offen

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ M ist offen

$\begin{eqnarray*} M\text{ ist offen } \Rightarrow \partial M\cap M =\emptyset \end{eqnarray*}$

Dadurch, dass M offen ist, liegt auch keine Umgebung(x) auf dem Rand, somit muss die Schnittmenge aus dem Rand M und M leer sein.

20.11.2012, 16:03

MatheNoobii

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Oh mann ich weiß nicht wie ich bei der d) vorgehen soll.

die Offenheit des Komplements von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es für jeden Punkt der außerhalb von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegt, ein y mit y-x < Epsilon gibt.

Ich checke die d) überhaupt nicht.

e) Ich kann mir nicht vorstelllen wie das aussehen soll, auch hier habe ich keine Ahnung und keine Vorstellung unglücklich

20.11.2012, 18:00

Cugu

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Noch einmal:
Bei der (d) ist zu zeigen, dass ein Punkt genau dann im Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt, wenn es eine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt die gegen diesen Punkt konvergiert.
Das ist aequivalent dazu, dass es in jeder Umgebung dieses Punktes (mindestens) einen Punkt aus M gibt.

Zitat:

die Offenheit des Komplements von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es für jeden Punkt der außerhalb von $\begin{eqnarray*} \overline M \end{eqnarray*}$ liegt, ein y mit y-x < Epsilon gibt.

Das ist Quatsch. Schreib es richtig hin, dann merkst du den Widerspruch zur Existenz obiger Folge.

Zu (e):
Weisst du, was eine dichte Teilmenge ist?

20.11.2012, 19:04

MatheNoobii

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Stimmt es so?

Offenheit des Komplements : Für jedes x aus $\begin{eqnarray*} X\backslash \overline{M} \end{eqnarray*}$ gibt es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass jeder Punkt y des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dessen Abstand zu x kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} (X\backslash \overline{M}) \end{eqnarray*}$ liegt.

20.11.2012, 19:23

MatheNoobii

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e) Hm nein weiß ich nicht

20.11.2012, 20:12

Cugu

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d) Ja, das stimmt.

e) In jeder Umgebung einer reellen Zahl, liegt eine rationale.
Warum gilt das:
Wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 10^k \end{eqnarray*}$ multipliziert, dann rundet und schliesslich durch $\begin{eqnarray*} 10^k \end{eqnarray*}$ teil, dann ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl und durch geeignete Wahl von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig nah bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

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