Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle)

16.11.2012, 16:29

MatheNoobii

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Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle)

Habe hier eine Aufgabe, mit der ich so gut wie garnichts anfangen kann:

Sei X ein normierter Raum und M c X. Wir definieren den Rand von M als

$\begin{eqnarray*} \Im M:={x\in X|\forall _{\varepsilon >0}:M\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \wedge(X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset } \end{eqnarray*}$

das Innere von M durch

M° := $\begin{eqnarray*} M\backslash\Im M \end{eqnarray*}$

und die abgeschlossene Hülle als

_
M := M $\begin{eqnarray*} \cup \Im M \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

a) M° ist offen
____
b) M ist abgeschlossen

c) M ist offen $\begin{eqnarray*} \leftarrow\Rightarrow \Im M\cap M =\emptyset \leftarrow\Rightarrow M° = M \end{eqnarray*}$
____
d) M = { $\begin{eqnarray*} x\in X|\exists _{(x_k)k\in \mathbb N \subset M}:\lim_{k \to \infty } x_k = x \end{eqnarray*}$ }

e) Für M = $\begin{eqnarray*} \mathbb Q und X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimme man
__
M und M°

Könnt ihr mir weiterhelfen?

16.11.2012, 16:51

RavenOnJ

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RE: Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle)
Ein bisschen weniger Kraut und Rüben (ich hoffe, alles ist richtig gesetzt; Statt $\begin{align*} \Im \end{align*}$ habe ich die übliche Schreibweise für den Rand $\begin{align*} \partial \end{align*}$ genommen):

Sei $\begin{align*} X \end{align*}$ ein normierter Raum und $\begin{align*} M\subset X \end{align*}$ . Wir definieren den Rand von $\begin{align*} M \end{align*}$ als

$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$

das Innere von $\begin{align*} M \end{align*}$ durch

$\begin{eqnarray*} M^\circ := M\backslash\partial M \end{eqnarray*}$

und die abgeschlossene Hülle als

$\begin{eqnarray*} \overline{M} := M\cup \partial M \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

a) $\begin{align*} M^\circ \end{align*}$ ist offen

b) $\begin{align*} \overline M \end{align*}$ ist abgeschlossen

c) $\begin{eqnarray*} M\text{ ist offen } \Longleftrightarrow \partial M\cap M =\emptyset \Longleftrightarrow M^\circ = M \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \overline M = \{x\in X|\exists (x_k), k\in \mathbb N \subset M:\lim_{k \rightarrow \infty } x_k = x\} \end{eqnarray*}$

e) Für $\begin{eqnarray*} M = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimme man $\begin{align*} \overline M \end{align*}$ und $\begin{align*} M^\circ \end{align*}$

Gruß
Peter

16.11.2012, 16:52

MatheNoobii

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RE: Normierter Raum (Rand, Inneres, abgeschl. Hülle)
Oh dankeschön, ich komm noch nicht ganz so recht mit dem Eintippen! Big Laugh

Big Laugh

16.11.2012, 16:54

RavenOnJ

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bitte sehr smile

smile

16.11.2012, 16:55

RavenOnJ

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wie wär's, wenn du jetzt Ideen lieferst?

16.11.2012, 17:01

Cugu

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Wie waere es vor allem, wenn du die benoetigten Definitionen lieferst?

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16.11.2012, 17:05

MatheNoobii

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Ideen:
a)
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ ist offen,

$\begin{eqnarray*} M^\circ := M\backslash\partial M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ ist offen, wenn gilt:

Für jedes x aus $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ gibt es eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass jeder Punkt y des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dessen Abstand zu x kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , in M liegt.

Ist das die Definition?

16.11.2012, 17:12

Cugu

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Ja, jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, was es bedeutet, dass ein Punkt $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ nicht auf dem Rand liegt.
Dazu musst du dir die Definition des Randes angucken und die Voraussetzung negieren.

16.11.2012, 17:22

MatheNoobii

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Damit ich die Definition der Offenheit richtig verstehe:

Ich nehm ein x und der Abstand von x zum Rand ist so quasi Epsilon und jedes Abstand x zu y soll kleiner sein als Epsilon um in M zu liegen, ansonsten ist es ja außerhalb?

Ich hab keine Ahnung wie ich diese Voraussetzung vom Rand von M negiere...

Ich versteh auch die Definition vom Rand nicht so wirklich...und zwar das mit dem U(epsilon).

(X backslash M ) ist klar aber was bedeutet es, dass dies geschnitten mit U(epsilon) nicht die leere Menge sein darf? Was ist U(epsilon)?

16.11.2012, 17:32

Cugu

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Nein, das stimmt nicht! Der minimale Abstand zum Rand ist mindestens epsilon, er kann viel groesser sein. Du weisst nur, dass alle Punkte, deren Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kleiner epsilon ist, in der Menge liegen muessen. Aber das sind i.A. nicht alle.

Das hier ist die Definition des Randes:
$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$
Was ist das Gegenteil von $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ?
Das solltest du negieren koennen. Ohne Aussagenlogik kann man keine vernuenftige Marthematik betreiben...

Wenn du keine Vorstellung davon hast, nimm einem Zettel und einen Stifft und zeichne!

Es ist
$\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x)=\{y : |x-y| < \epsilon \}, \end{eqnarray*}$
also die Menge der Punkte deren Abstand zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kleiner epsilon ist.

Hier ist ein Bild:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Neighborhood_illust1.png

16.11.2012, 17:57

MatheNoobii

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Ah ja so macht es Sinn!

Ich bin absolut noch nicht in der Lage das zu negieren. Habe noch nicht wirklich viel verstanden.

Die Umgebung U_epsilon habe ich denk ich verstanden, das ist die Menge aller y deren Abstand zu meinem x kleiner sind als Epsilon, aber ich weiß nicht wie ich die einzeichnen sollte. Für mich bedeutet das U_epsilon = M ohne Rand

16.11.2012, 18:05

MatheNoobii

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Zitat:

Original von MatheNoobii
Ah ja so macht es Sinn!

Ich bin absolut noch nicht in der Lage das zu negieren. Habe noch nicht wirklich viel verstanden.

Die Umgebung U_epsilon habe ich denk ich verstanden, das ist die Menge aller y deren Abstand zu meinem x kleiner sind als Epsilon, aber ich weiß nicht wie ich die einzeichnen sollte. Für mich bedeutet das U_epsilon = M ohne Rand

Hm wäre die Negierung einfach so? Oder wäre das zu einfach

$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \} \end{eqnarray*}$

16.11.2012, 18:06

Cugu

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Zitat:

Für mich bedeutet das U_epsilon = M ohne Rand

Nein! Guck dir doch mal das Bild auf Wikipedia an, da ist das Dunkelgruene die Epsilon-Umgebung, Hellgruene eine offene Menge und die schwarze durchgezogene Linie der Rand der Menge.

Nein, die Negierung ist falsch.

16.11.2012, 18:17

MatheNoobii

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Okay und liegt die Epsilon Umgebung immer in M? Das würde ja bedeuten, dass M geschnitten U_e einfach U_e ist? Und das ist doch dann klar dass da nicht gleich der leeren Menge sein kann?

Und X backslash M geschnitten mit U_e hätte dann eine leere Menge? Also muss U_e über M hinausgehen?

16.11.2012, 21:18

Cugu

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Zitat:

Okay und liegt die Epsilon Umgebung immer in M?

Naja das ist fraglich! Aber, falls es für jeden Punkt in $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt, so ist die Menge $\begin{eqnarray*} M^\circ \end{eqnarray*}$ offen!

Die Frage ist also:
Gibt es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M^\circ := M\backslash\partial M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x)\subseteq M^\circ \end{eqnarray*}$ ist?

Um diese Frage zu beantworten, solltest du aber wissen, was für einen Punkt gilt, der in $\begin{eqnarray*} M^\circ := M\backslash\partial M \end{eqnarray*}$ , also in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , aber nicht auf dem Rand, liegt.
Und dazu wäre es gut, wenn du weißt, was für einen Punkt gilt, der nicht auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt, siehe Definition des Randes.

17.11.2012, 13:42

MatheNoobii

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Okay ich betrachte:

$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)\neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$

Was gilt für einen Punkt der in M, aber nicht auf dem Rand liegt?

Ah und die Frage ist die Negierung zu einem Punkt der auf dem Rand liegt, also soll ich hier mit jetzt die Definition des Randes negieren:

Die Definition des Randes bedeutet zunächst, dass dieSchnittmenge von M und U nicht leer sein darf, also darf die Umgebung nicht außerhalb von $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ und die Schnittmenge von (X backslash M) und U darf auch nicht leer sein, das bedeutet, die Umgebung darf nicht nur innerhalb von $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ liegen, das bedeutet sie muss auf dem Rand liegen, klar.

Jetzt die Umschreibung, so dass er nicht auf dem Rand liegt:

$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)\neq \emptyset \land (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass die Schnittmenge aus M und U nicht leer sein darf, also muss eine Umgebung in M liegen und die Schnittmenge aus (X backslash M) und U muss leer sein, somit soll eine Umgebung in M liegen.

Hm das ist aber 2 mal dasselbe und die Umgebung bzw. der Punkt liegt zwar sicher in M, kann aber immernoch auf dem Rand und zum Teil auch in X liegen... Ich weiß nicht was ich jetzt ändern muss oder darf, kann ich ein M° verwenden? oder muss alles bei M bleiben?

17.11.2012, 13:55

Cugu

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Nein! Wir machen das jetzt Schritt für Schritt:
Was ist das Gegenteil von "Für alle \epsilon > 0 gilt eine Aussage A"?

17.11.2012, 14:01

MatheNoobii

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Für nicht alle, also für mind. ein epsilon > 0 gilt eine Aussage A

17.11.2012, 14:09

Cugu

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Ah ok, ich habe mich verlesen: Wir einigen uns auf: "Es gibt (mindestens) ein \epsilon > 0 für das A nicht gilt".

Was ist das Gegenteil von "Es gelten A und B"?

17.11.2012, 14:12

MatheNoobii

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Okay

Das Gegenteil davon ist, dass entweder A oder B oder A und B nicht gelten, oder?

Also : $\begin{eqnarray*} \lnot A \lor \lnot B \end{eqnarray*}$

17.11.2012, 14:15

RavenOnJ

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betrachte mal den booleschen Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \lnot(A\land B) = \lnot A \lor \lnot B \end{eqnarray*}$

Die Negation von "{x liegt auf dem Rand von M} = {in jeder U von x gibt es einen Punkt im Inneren von M} $\begin{align*} \land \end{align*}$ {in jeder U von x gibt es einen Punkt außerhalb von M} ist gerade die "Veroderung" der Negationen dieser beiden Aussagen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \end{eqnarray*}<br /> \begin{align*}<br /> &\lnot \small\{\text{x liegt auf dem Rand von M}\} = \{\text{x liegt nicht auf dem Rand von M}\} =<br /> &\lnot \small\{\text{in jeder U von x gibt es einen Punkt im Inneren von M}\}\lor \lnot\{\text{in jeder U von x gibt es einen Punkt außerhalb von M}\} =<br /> &\{\small\exists \text{U von x: U enthält keinen Punkt vom Inneren von M}\}\lor \{\exists \text{U von x: U enthält keinen Punkt außerhalb von M}\}<br /> \end{align*}<br /> \begin{eqnarray*}<br /> \end{eqnarray*}$

(U = Umgebung)

Das heißt, gehört x nicht zum Rand von M, dann gibt es eine Umgebung von x, die entweder vollständig im Äußeren oder vollständig im Inneren von M liegt.

17.11.2012, 14:19

Cugu

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Zitat:

Das heißt, gehört x nicht zum Rand von M, dann gibt es eine Umgebung von x, die entweder vollständig im Äußeren oder vollständig im Inneren liegt.

Freude

Freude

Freude

Und dann habe ich gesehen, wer es geschrieben hat...

In Zeichen heißt das:
$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \lor (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist, welcher Fall kann dann nicht auftreten?

17.11.2012, 14:26

MatheNoobii

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Ah ich hätte mir es einfach vereinfach darstellen können

$\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :A\land B \end{eqnarray*}$

und das dann negieren..., in dem ich einfach ein $\begin{eqnarray*} \lnot \end{eqnarray*}$ vor A und B setze und aus Für alle _epsilon > 0 ein für nicht alle _epsilon > 0 gilt Nicht (A und B)

17.11.2012, 14:28

Cugu

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Ja, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Aussagen sind und $\begin{eqnarray*} \partial M:=\{x\in X|\forall \epsilon >0 :A\land B\} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das Komplement $\begin{eqnarray*} X\setminus \partial M=\{x\in X|\exists \epsilon >0 : \lnot A\lor \lnot B\} \end{eqnarray*}$ .

Wir suchen nun aber nicht $\begin{eqnarray*} X\setminus \partial M \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} M\setminus \partial M \end{eqnarray*}$ , die Punkte sind also zumindest in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

17.11.2012, 14:34

MatheNoobii

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Da $\begin{eqnarray*} M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ muss die Umgebung außerhalb von M liegen, also in X

oder da $\begin{eqnarray*} (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)=\emptyset \end{eqnarray*}$ muss die Umgebung vollständig in M liegen

also sie können mal zumindest nicht mehr auf dem Rand liegen, aber noch in X, aber sie sollen ja nur in M ohne Rand, richtig?

17.11.2012, 14:45

Cugu

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Wenn $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist, kann dann $\begin{eqnarray*} M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ gelten?

17.11.2012, 14:48

MatheNoobii

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Achso nein, natürlich nicht! Dieser Fall kann dann nicht auftreten, also passt es? x liegt immer in M und nicht auf dem Rand

17.11.2012, 14:55

Cugu

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Zitat:

Achso nein, natürlich nicht!

Zumindest $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst liegt im Schnitt!

Zitat:

x liegt immer in M und nicht auf dem Rand

Naja, das setzen wir voraus, wir betrachten doch $\begin{eqnarray*} x \in M^\circ = M\setminus \partial M \end{eqnarray*}$ .
Aber was gilt nun für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Es gab doch nur zwei Möglichkeiten, für Punkte, die nicht auf dem Rand liegen!

17.11.2012, 14:59

MatheNoobii

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Ja stimmt, verstanden!

Für Punkte, die nicht auf dem Rand liegen, gibt es die Möglichkeit, dass sie in M° liegen oder in X -backslash M?

aber da x element M° liegen die x nur in M°

17.11.2012, 15:03

Cugu

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Wir betrachten jetzt aber die, die in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.
Für Punkte die nicht auf dem Rand liegen gilt (s.o.): $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \lor (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)=\emptyset. \end{eqnarray*}$
Welche der beiden Möglichkeiten scheidet aus, wenn $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ist?

17.11.2012, 15:05

MatheNoobii

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Ja dann scheidet $\begin{eqnarray*} M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ aus

17.11.2012, 15:16

Cugu

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Wenn nun aber $\begin{eqnarray*} (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ ist, warum folgt dann sofort $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \subset M \end{eqnarray*}$ ?

17.11.2012, 15:19

MatheNoobii

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Hm gute Frage, ich weiß es nicht

17.11.2012, 15:20

Cugu

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Angenommen, ich erzähle Quatsch und es gibt einen Punkt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \end{eqnarray*}$ , der nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist...

17.11.2012, 15:29

MatheNoobii

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Tut mir leid, jetzt versteh ich nichts mehr...

17.11.2012, 15:31

Cugu

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Ich behaupte $\begin{eqnarray*} \Big( (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \Big) \Rightarrow \Big( U_\epsilon (x) \subset M \Big) \end{eqnarray*}$ . Wie zeigt man sowas?

17.11.2012, 15:33

MatheNoobii

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Ich denke so : $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \end{eqnarray*}$ muss ja iwo liegen und wenn es wegen $\begin{eqnarray*} (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} (X \backslash M) \end{eqnarray*}$ liegen kann, dann muss es in M liegen?

17.11.2012, 15:35

MatheNoobii

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Ja aber wie zeige ich das?

17.11.2012, 15:39

Cugu

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Ja, formal würde man das dann punktweise zeigen und zwar genauso wie du das gesagt hast.
Wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (x) \end{eqnarray*}$ , nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, dann muss es im Komplement $\begin{eqnarray*} X\setminus M \end{eqnarray*}$ sein, was aber ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)= \emptyset \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt wird noch einmal trickreich. Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} ( U_\epsilon (x) \subset M \Big) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} ( U_\epsilon (x) \subset M^\circ \Big) \end{eqnarray*}$ ist? Hinweis: Dreicksungleichung!

17.11.2012, 15:45

MatheNoobii

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$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon >0 :M\cap U_\epsilon (x)= \emptyset \lor (X \backslash M)\cap U_\varepsilon (x)=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wenn x nicht zum Rand gehört, dann ist die Umgebung von x entweder vollständig im Äußeren oder vollständig im Inneren, aber da x element M, kann sie nur vollständig im Inneren sein und eben nicht auf dem Rand, also in M°

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