Induktionsbeweis

16.11.2012, 16:53	Yndostrui	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Hallo! Ich habe ein kleines Problem, mit einem Induktionsbeweis... Folgende Aufgabe: "Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für jede natürliche Zahl n gilt: $\begin{eqnarray} n^7 - n \end{eqnarray}$ ist durch 7 teilbar. Ich habe die Behauptung so modelliert: $\begin{eqnarray} n^7 - n \mod 7 = 0 \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass der Dozent davon ausgeht, dass Modulo Rechnung uns nicht bekannt ist, also gibt es wahrscheinlich eine andere Modellierung, mir fiel aber nur modulo ein um Teilbarkeit zu zeigen. Folgendes ist mein Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} 0^7 - 0 \mod 7 = 0\\0 \mod 7 = 0 \end{eqnarray}$ Und den Induktionsschritt habe ich so angefangen: $\begin{eqnarray} (n+1)^7 - (n+1) \mod 7 = 0 \end{eqnarray}$ Ich habe dazu jetzt zwei Fragen: Ist der Ansatz so weit korrekt? Und die wichtigste: Wie mach ich jetzt weiter? Mir ist keine Möglichkeit bekannt, das "+1" aus der ersten Klammer zu ziehen... Ich hoffe ihr könnt mir helfen
16.11.2012, 17:01	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist genauso einfach zu sagen, dass $\begin{eqnarray} n^7-n=7m \end{eqnarray}$ für ein m. Wie wäre es denn mit binomischem Lehrsatz?
16.11.2012, 17:17	Yndostrui	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank, davon hab ich noch nie gehört... Sowas sollte man doch eigentlich in der Schule lernen... :/ Ich denke das sollte mir helfen die Aufgabe zu lösen, aber das sieht ehrlich gesagt unglaublich kompliziert aus, wenn man das ausrechnen muss... o_O
16.11.2012, 18:19	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das geht eigentlich. $\begin{eqnarray} (n+1)^7 = \sum_{k=0}^7 {7\choose k} n^k \end{eqnarray}$ Kannst du etwas für die Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray} 7\choose k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq k\leq 6 \end{eqnarray}$ sagen? Rechne die mal aus und guck, ob dir etwas auffällt.

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