Konvexe Hülle = Konvexkombinationen

16.11.2012, 19:10

nel

Konvexe Hülle = Konvexkombinationen

Hallo,
ich habe ein Verstandnisproblem bei einem Beweis zu folgendem Satz:

(Die konvexe Hülle wird bis jetzt nur als Durchscnitt aller konvexen Mengen, die A enthalten defininiert.)

Zitat:

"Sei A eine Menge im R^n, dann ist die konvexe Hülle (=conv(A)) von A gleich der Menge aller Konvexkombinationen von Punkten aus A."

Der Beweis setzt vorraus, dass Konvexkombinationen von Punkten einer konvexen Menge wieder Element dieser Menge sind:

Sei B die Menge der Konvexkombinationen der Punkte von A. Dann ist $\begin{eqnarray*} B \subseteq conv(A) \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} A \subseteq conv(A) \end{eqnarray*}$

Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} B \subseteq conv(A) \end{eqnarray*}$ folgt, weil B die Menge der Konvexkombinationen von A ist und diese daher auch in A liegen und somit auch in conv(A)? Aber wieso folgt dann erst daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} A \subseteq conv(A) \end{eqnarray*}$ ?

Danach folgt der Beweis, dass B konvex ist. Den verstehe ich.

Zitat:

Wenn B konvex ist und $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ , dann gilt daher $\begin{eqnarray*} conv(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$

Mein Problem liegt nun unter anderem darin, den Schluss zu verstehen, wieso aus einem konvexen B folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} conv(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$ gilt.

Hammer

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