Gruppenhomomorphismus

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math20 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus
Meine Frage:
Ich habe die Frage als Bild eingefügt und meine Ansätze unten genannt.

Meine Ideen:
Hallo,

es gibt eine Aufgabe zu Gruppenhomomorphismus. Ich habe etwas dazu berechnet, jedoch weiß ich nicht wie weit es stimmt oder ob es überhaupt stimmt und vollständig ist, sprich ausreicht.

Es wäre sehr nett, wenn sich jemand die Mühe machen könnte und einen Blick drauf werfen könnte?!

Meine Lösungsweg sieht wie folgt aus:

Anstelle dieses griechischen Buchstabens nehme ich --> "p":

Sei g', g'' Element von G
Gruppenhomomorphismus gilt wenn:
p(g'*g'') = p(g') * p(g'')

dann muss (g'*g'')^-1 = g''^-1 * g'^-1 gelten.

Dann zeige ich das:

(g'*g'')^-1 = g''^-1 * g'^-1 * e <=>
g''^-1 * g'^-1 (g'*g'') * (g' * g'')^-1 <=>
g''^-1 * (g'^-1 * g') * g'' * (g' * g'')^-1 <=>
g''^-1 * g'' (g' * g'')^-1 <=> (g' * g'')^-1

Ist damit die erste Frage in Bezug auf die Kommutativität gezeigt?

Zum Kern habe ich folgendes aufgeschrieben:
p^-1(eG) = eG (eG = neutrales Elemetn von G)

Zum Bild habe ich folgendes aufgeschrieben:

p(G) = G oder ist p(g) = G besser?

Das war es im Prinzip. Ich würde mich über jeden hilfreichen Beitrag freuen.


LG math20
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
Zitat:
Original von math20
Dann zeige ich das:

(g'*g'')^-1 = g''^-1 * g'^-1 * e <=>
g''^-1 * g'^-1 (g'*g'') * (g' * g'')^-1 <=>
g''^-1 * (g'^-1 * g') * g'' * (g' * g'')^-1 <=>
g''^-1 * g'' (g' * g'')^-1 <=> (g' * g'')^-1
LG math20


hey math20, leider ist das kein beweis. Ich formulier die aufgabe mathematischer:
Seien eine Gruppe und eine Abbildung gegeben. Zeigen Sie:

ist ein Gruppenhomomorphismus ist abelsch.

Das heißt, du musst die hin- und die rückrichtung zeigen. Bei der hinrichtung, bei der du dir viel mühe gebeben hast, musst du verwenden, dass ein gruppenhomomorphismus ist. Das ist ein ganz kurzer beweis. Im übrigen brauchst du bei deinem beweisversuch keine äquivalenzpfeile zu machen, du kannst die umformungen driekt mit einem "=" anschließen.

Jetzt kannst du hin- und rückrichtung nochmal probieren, falls du fragen hast, farg einfach smile
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
fleurita,

ich glaube, dass ich das verstanden habe.
Jedoch gibt es da etwas anderes, was mir Sorgen bereitet.
Ich werde den Kern und das Bild beweisen müssen.
Und das bereitet mir Sorgen.

Könntest du mir dabei helfen? smile


LG math20
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
hast du den ersten teil geschafft?

Du kannst bei der sache mit dem kern und dem bild zeigen, dass bijektiv ist. Dann weißt du sofort wie der kern und das bild aussehen.
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
Ich glaube, dass es deshalb bijektiv ist, weil die Identität liegt auf G. Demnach auf sich selbst.
Dann kann man sagen Id(g) -> g oder muss es Id(g) ->g^-1 sein?

(g) = g^-1
^-1(g^-1) = g

Damit ist doch gezeigt, dass bijektiv ist, weil es eine Umkehrfunktion besitzt.


Was bringt mir das aber?
In der Aufgabe heißt es ich solle Bild und Kern von bestimmen.

Hilft mir das wirklich weiter und stimmt es überhaupt?

Gruß math20
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
Was meinst du mit "die identität liegt auf G"? bildet nur ein einziges element auf sich selbst ab (welches?). Wenn du zeigen willst, dass eine abbildung bijetiv ist, zeigst du z.b., dass sie injektiv und surjektiv ist.

Wenn du weißt, dass eine abbildung bijektiv ist, dann kennst du den kern und das bild sofort. Ich geb dir mal 3 einfach beispiele an:

1.) Sei die gruppe und sowie die Abbildung. Was sind bild und kern dieser abbildung phi?

2.) Sei die gruppe und sowie die Abbildung. Was sind bild und kern dieser abbildung psi?

3.) Sei die gruppe und sowie die Abbildung. Was sind bild und kern dieser abbildung pi?
 
 
math20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
Ich habe mir einmal Gedanken darüber gemacht.

1)Kern: ^-1 {0} = 0
Bild: (g) = 0

2)Kern: ^-1{g} = e
e=0, dass 0 neutrales Element der additiven Gruppe
Bild (g) = g {(g) | g }

3) Kern ^-1{-g} = g { g |(g) = -g ( -g = e von }

Bild (g) = -g


Was hältst du davon?
fleurita Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei der Gruppenhomomorphismus
bei 1.) hast du das Bild richtig bestimmt. Aber ich sag dir erstmal was zur notation (=schreibweise): Für die bildmenge oder das bild schreibt man oder und für den kern

Der kern ist aber nicht richtig bei 1.). Der kern ist die menge aller elemente der urbildmenge, die auf die null/das neutrale element abgebildet werden.


Ich nehme an bei 2.) und 3.) meinst du das richtige smile . Ich schreibs dir nochmal schön auf:

2.)

3.)

Bei einer bijektiven abbildung hat jedes element der ziel-/wertemenge genau ein urbild(element). Deshalb ist das bild dieser abbildung die komplette ziel-/wertemenge und der kern nur die menge {0} bzw. {e}, weil nur die null/das neutrale element auf die null/das neutrale element abgebildet wird. Dehalb ist es ne möglichkeit zu zeigen, dass deine abbildung bijektiv ist.
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