Volumenberechnung von Rotationskörpern um X-Achse (integrieren)

16.11.2012, 21:15

L1K34ST4R

Volumenberechnung von Rotationskörpern um X-Achse (integrieren)

Moin,

im Vorraus: Ich bin eine Niete in Mathe und kann so ziemlich nichts (stehe auf ner 4 mit 2 zugedrückten Augen).

gegeben: X-Grenzen [ 0 ; 2] zur Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0,5x^2+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ mit den X-Grenzen [ 0 ; 3 ]

gesucht: Volumen der Rotationskörper.

Naja bei der 2ten Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist es gar kein Problem.

Allgemeine Formel: $\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b (f(x))²dx \end{eqnarray*}$

Für f(x) setze ich halt meine Funktion und meine x-Werte ein. $\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b (3²)²dx \end{eqnarray*}$
Nun habe ich nach der Auflösung $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ und nun muss ich es integrieren, sprich $\begin{eqnarray*} \pi*\frac{(3)^5}{5} \end{eqnarray*}$ und da kommt V= 152,681403 raus. Das ist garkein Problem bis jetzt.

Zu meinem Problem:
Nun kommt die andere Funktiongleichung, da sie eine 0,5 vor dem x hat und eine +1 am Ende hat verwirrt sie mich bisschen. Also gut ich kürz es einbisschen. Ich setze die Funktion ein, sprich: $\begin{eqnarray*} V=\pi* \int_0^2(0,5x²+1)²dx \end{eqnarray*}$

Ich habe mir diese Variante überlegt, sprich zuerst integrieren
$\begin{eqnarray*} V=\pi*(0,5 \frac{(x)^3}{3}+1x)² \end{eqnarray*}$
Dannach die die X werte einsetzen und aussrechnen, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob es wegen der Klammer und dem ² gehen würde.

Dazu habe ich folgende Fragen:
1. Wie löse ich jetzt die Klammer ?
2. Bezieht sich die ² auf das ganze in der Klammer, sprich alles ² rechnen ?
3. Erstmal Klammer lösen, dann integrieren, dann einsetzen und ausrechnen oder wie lautet die Reinfolge ?

16.11.2012, 21:27

Bjoern1982

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Die richtige Reihenfolge ist:

1. Ggf. Klammer mit binomischer Formel auflösen

2. Stammfunktion bilden

3. Grenzen einsetzen (und mit Pi multiplizieren)

16.11.2012, 22:44

L1K34ST4R

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Ah du meine Güte........ Ich probiers dann mal. Ich muss ja $\begin{eqnarray*} (0,5x²+1) * (0.5x²+1) \end{eqnarray*}$ rechnen. $\begin{eqnarray*} 0,5x²*0,5x²+0,5x²*1 + 1*0,5x²+1*1 \end{eqnarray*}$ habe ich dann (glaube ich zumindest). Wie soll ich den daraus die Stammfunktion bilden ?

16.11.2012, 22:55

Bjoern1982

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Erstmal vernünftig zusammenfassen und dann Summand für Summand integrieren.

17.11.2012, 15:16

L1K34ST4R

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$\begin{eqnarray*} 0,25x^4 + 0,5x^2+ 0,5x^2+1 \end{eqnarray*}$ nun kommt das Integrieren und Einsetzen. $\begin{eqnarray*} 0,25*\frac{(x)^5}{5} + 0,5*\frac{(x)^3}{3} + 0,5*\frac{(x)^3}{3} +1*x \end{eqnarray*}$ Dann setze ich für x die Grenzen ein und rechne es aus. Könnte mal jemand nen Blick darüber werfen ?

EDIT: Ah und das $\begin{eqnarray*} \pi x \end{eqnarray*}$ davor nicht zu vergessen

17.11.2012, 15:20

L1K34ST4R

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V=39,37462792 VE richtig ?

17.11.2012, 21:41

Dopap

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Zitat:

Original von L1K34ST4R
$\begin{eqnarray*} 0,25x^4 + 0,5x^2+ 0,5x^2+1 \end{eqnarray*}$ nun kommt das Integrieren und Einsetzen. $\begin{eqnarray*} 0,25*\frac{(x)^5}{5} + 0,5*\frac{(x)^3}{3} + 0,5*\frac{(x)^3}{3} +1*x \end{eqnarray*}$

schöner: $\begin{eqnarray*} \frac 14 x^4+x^2+1 \end{eqnarray*}$ als Integrand und

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {20}x^5+\frac 13 x^3+x \end{eqnarray*}$ als eine Stammfunktion.

mit $\begin{eqnarray*} V=\frac {94}{15} \pi \approx 19.687 \end{eqnarray*}$

da ist dir wohl der Faktor 2 hereingerutscht.

17.11.2012, 23:06

L1K34ST4R

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Zitat:

Original von Dopap

schöner: $\begin{eqnarray*} \frac 14 x^4+x^2+1 \end{eqnarray*}$ als Integrand und

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {20}x^5+\frac 13 x^3+x \end{eqnarray*}$ als eine Stammfunktion.

mit $\begin{eqnarray*} V=\frac {94}{15} \pi \approx 19.687 \end{eqnarray*}$

da ist dir wohl der Faktor 2 hereingerutscht.

Was ist denn mit dem $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , welches in der allgemeinen Formel vorhanden ist ?

17.11.2012, 23:23

Dopap

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bitte keine Vollzitate in der unmittelbaren Antwort. Das ist Datenmüll.

Das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ wurde in der letzten Gleichung bei V= mithereingenommen, weil ich annahm, dass das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ vor dem Integral steht. Also

$\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^2\, (f(x))^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$ gilt.

18.11.2012, 13:20

L1K34ST4R

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Verstehe ich nicht ganz. Ich habe ja die Klammer aufgelöst, nach dem einsetzen der Gleichung, sprich ich müsste doch $\begin{eqnarray*} V= \pi \int_0^2\, \frac 14 x^4+x^2+1 \, \dd x \end{eqnarray*}$ haben oder ? Nach dem Integrieren und einsetzen der Grenzen würde es dann $\begin{eqnarray*} V= \pi * \frac 1 {20}*2^5+\frac 13 *2^3+2 \end{eqnarray*}$ heissen.

19.11.2012, 08:19

Dopap

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$\begin{eqnarray*} V= \pi * \bigg [ \frac 1 {20}*2^5+\frac 13 *2^3+2 \bigg ] \end{eqnarray*}$

die grosse Klammer sollte man nicht vergessen !

19.11.2012, 21:10

L1K34ST4R

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Somit danke ich dir smile

. Ich brauch ja jetzt nichts mehr zu machen ausser den Kramm in meinen Rechner zu tippen. Danke mal wieder für die tolle Hilfe.

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