zeige dass n!/n^2 gegen 0 geht

16.11.2012, 21:20

Complius

zeige dass n!/n^2 gegen 0 geht

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich soll also die Konvergenz dieser Folge zeigen. Ich habe nur irgendwie keinen rechten Ansatz. Ich würde gerne die Folge nach oben abschätzen und zeigen, dass die "größere" Folge(z.B. etwas in der Art $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\text{irgendwas mit n}} \end{eqnarray*}$ ) gegen 0 konvergiert. Allerdings sehe ich nicht, wie ich an die Abschätzung herangehen könnte...

Würde mich über einen Tipp freuen.

16.11.2012, 21:24

Che Netzer

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RE: zeige dass n!/n^2 gegen 0 geht

Zitat:

Original von Complius
ich möchte zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^2}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Sicher? Für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich? Na dann viel Glück...

16.11.2012, 23:15

Complius

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oh:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ war die richtige Formulierung... danke für den Hinweis.

Ich nehme an, dass dies für n gegen unendlich zu zeigen ist, es steht aber nichts genaueres in der Aufgabe.

Diese Änderung hilft mir aber trotzdem nicht weiter...

16.11.2012, 23:18

Che Netzer

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Dann sieh dir mal an, wieviele Faktoren du im Zähler hast (ohne Eins) und wogegen du sie nach oben abschätzen kannst.

17.11.2012, 17:01

Complius

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Im Zähler habe ich n Faktoren die jeweils kleiner oder gleich (nur der erste) wie n sind. Also könnte ich das durch n^2 abschätzen.

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}\leq \frac{n^2}{n^n}=\frac{1}{n^{n-2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt wüsste, dass $\begin{eqnarray*} {n^{n-2}} \end{eqnarray*}$ eine positive Hochzahl hat, dann würde der gesamte Term von oben gegen 0 gehen - also für n>3 wird der Bruch klein und für größere n geht der Bruch gegen 0 und damit ist die Aufgabe gelöst, richtig?

Oder fehlt da noch was?

17.11.2012, 17:04

Che Netzer

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Wieso kannst du das denn gegen $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen? Wenn du $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren hast, die jeweils kleiner gleich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sind?
Wieso sollte $\begin{eqnarray*} n!\leq n^2 \end{eqnarray*}$ sein?

18.11.2012, 00:06

Complius

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oh ja... da war ich etwas voreilig. Nach meiner Überlegung könnte ich n! durch $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ abschätzen. Aber das steht ja auch im Nenner und damit ginge die Differenz nur gegen 1 (was ich ja nicht zeigen will).

Also muss eine neue Abschätzung/Idee her:
Ich könnte den Zähler n! doch auch umschreiben in dem ich jeweils n und 1 sowie n-1 und 2 zusammenaddiere. Damit erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ mal den Faktor n+1

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}= \frac{n}{2}\cdot (n+1)\cdot \frac{1}{n^n}=\frac{n \cdot (n+1)}{2n^{n}} \end{eqnarray*}$

Durch Kürzen von n sieht man jetzt im Zähler einen linearen Term der sicher langsamer wächst als der Term im Nenner (was aber noch formal zu zeigen ist und ich weiß nicht genau wie...)

Ist das ein Ansatz, der in die richtige Richtung geht?

18.11.2012, 00:42

Che Netzer

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Du wendest da die Gaußsche Summenformel auf Produkte an...
Die Idee mit der Abschätzung war schon ganz gut, aber musst du wirklich alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren nach oben abschätzen?

18.11.2012, 10:49

Complius

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hmm, irgendwie hilft mir dein Tipp nicht weiter unglücklich

Wenn du so fragst muss man sicherlich nicht alle n Faktoren nach oben abschätzen, aber ich sehe gerade nicht, wo du bist...

Bisher habe ich ja noch gar nicht abgeschätzt sondern nur mit der Gaußschen Summenformel umgeformt und die Abschätzung argumentiert ^^

Ich versuche mal deinen Tipp umzusetzen:
1. Versuch) Also n muss ich nicht nach oben abschätzen (da ich ja sowieso nur mit n abschätzen würde) (sehe aber noch nicht wofür das nützlich sein könnte)
2. Versuch) Vielleicht könnte ich auch n! in zwei Teile unterteilen und auf diese dann getrennt Gauß anwenden um sie danach besser abschätzen zu können also von n bis $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ jeweils den ersten und letzten zusammenaddieren (nach Gauß) und von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}-1 \end{eqnarray*}$ bis 1. Allerdings ist dann noch bei der Wahl von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ darauf zu achten, ob n eine gerade oder ungerade Zahl ist um das $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ richtig zu wählen. Dadurch bekomme ich eine genauere Abschätzung.

18.11.2012, 11:02

Iorek

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Zitat:

Original von Complius
Vielleicht könnte ich auch n! in zwei Teile unterteilen und auf diese dann getrennt Gauß anwenden um sie danach besser abschätzen zu können also von n bis $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ jeweils den ersten und letzten zusammenaddieren (nach Gauß) und von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2}-1 \end{eqnarray*}$ bis 1.

Um es dann mal deutlich zu sagen: du kannst auf $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ eben nicht! die von dir gewünschte Summenformel von Gauß anwenden!

$\begin{eqnarray*} n!=\prod\limits_{k=1}^n k =1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \neq \sum\limits_{k=1}^n k =1+2+3+\cdots +n \end{eqnarray*}$

Stattdessen solltest du dir $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ wie oben mal ausschreiben und dir überlegen, welche Faktoren dafür überhaupt Einfluss auf das Produkt haben und wie man die anderen abschätzen könnte.

29.11.2012, 11:01

Complius

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ah, na klar - das ganze ist ja ein Produkt...

Jetzt ist mir auch klar, wie ich die Sache löse

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}= \frac{1}{n}\cdot \prod_{n=2}^n\frac{k}{n}\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich ziehe einfach ein 1/n raus, und dann habe ich im Produkt (der restlichen Faktoren ohne den ersten, deshalb starte ich bei n=2) nur noch Faktoren die kleiner als 1 sind, deshalb kann ich das so abschätzen und für n gegen unendlich geht das gegen 0.

Danke für eure Hilfe smile

29.11.2012, 17:25

Che Netzer

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Sieht gut aus.
Als Schlussbemerkung: Die Abschätzung war sehr (!) stark, d.h. die Konvergenz ist eigentlich noch viel schneller als erster Ordnung.

30.11.2012, 01:13

Complius

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stimmt, ich habe die einzelnen Faktoren in der Abschätzung ja sehr stark abgeschätzt und da ich dies bei jedem einzelnen Faktor getan habe, vergrößert sich der Effekt ja noch. Schön, dass es trotzdem passt...

Danke smile

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