Supremum

17.11.2012, 12:42	arissa	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum Meine Frage: Hallo habe eine Frage zu folgender Aufgabe.Also es sei sup(AB)=sup(A)sup(B) (=mal) Die Aufgabe scheint sehr verständlich zu sein und auch einfach, aber ich weiß garnicht wie ich das jetzt beweisen soll.Könnt ihr mir helfen? lG Meine Ideen:* Ich weiß es klingt richtig simpel, aber ich verstehe genau deshalb nicht wei man es beweisen sollte..
17.11.2012, 16:49	invi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ... also zuerst muss gelten: $\begin{eqnarray} A,B\subseteq K^+ \end{eqnarray}$ aber egal...es geht so: Sei mal $\begin{eqnarray} \alpha:=\sup A, \beta:=\sup B \end{eqnarray}$ Dann gilt doch: $\begin{eqnarray} \forall a\in A: a\le\alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall b\in B: b\le\beta \end{eqnarray}$ und somit da wir uns ja in $\begin{eqnarray} K^+ \end{eqnarray}$ befinden gilt: $\begin{eqnarray} a\cdot b\le \alpha\cdot\beta \end{eqnarray}$ Also ist mal $\begin{eqnarray} \alpha\cdot \beta \end{eqnarray}$ eine obere Schranke von $\begin{eqnarray} A\cdot B \end{eqnarray}$
17.11.2012, 17:00	invi	Auf diesen Beitrag antworten »
doch das dicke Ende ist dieses hier: Für: (ist nur Supremumgseigenschaft mit bissl komischen Ausdrücken vl.) $\begin{eqnarray} \frac{\varepsilon}{2\beta}>0:\exists a_0\in A:a_0>\alpha-\frac{\varepsilon}{2\beta}\Rightarrow a_0-\alpha>-\frac{\varepsilon}{2\beta} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\varepsilon}{2\alpha}>0:\exists b_0\in B:b_0>\beta-\frac{\varepsilon}{2\alpha}\Rightarrow a_0-\beta>-\frac{\varepsilon}{2\alpha} \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} a_0\cdot b_0=\alpha\cdot \beta+(a_0+\alpha)\cdot\beta+(b_0-\beta)\cdot a_0\ge \alpha\cdot\beta+(a_0-\alpha)\cdot\beta+(b_0-\beta)\cdot\alpha\ge\alpha\cdot\beta-\frac{\varepsilon}{2\beta}\beta-\frac{\varepsilon}{2\alpha}\alpha=\alpha\cdot\beta-\varepsilon \end{eqnarray}$ was genau die Supremumgseigenschaft ist...also ist $\begin{eqnarray} \alpha\cdot\beta \end{eqnarray}$ sogar die kleinste obere Schranke! Bei Fragen - einfach Melden
17.11.2012, 17:03	invi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Ungleichung (NICHT das =) muss nat. $\begin{eqnarray} < \end{eqnarray}$ lauten!!!
17.11.2012, 18:11	arissa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Hilfe!Aber hab doch noch eine Frage:Wie kommst du am Anfang des zweiten Schrittes auf Epsilon durch zwei Beta?
19.11.2012, 07:30	invi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja du brauchst mal auf jeden fall ein etwas, dass größer 0 ist und es ist wünschenswerd, dass am ende: $\begin{eqnarray} a_0b_0<\alpha\beta-\varepsilon \end{eqnarray}$ (was ja genau die supremums eigenschaft ist) kurz gesagt: es ist so gewählt, dass am ende das rauskommt - damit man sofort sieht, dass es sich um die sup-eigenschaft handelt und natürlich dasselbe mit der nächsten Zeile. (also hat bissl was mit gefühl und herumbasteln zu tun)
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20.11.2012, 18:07	arissa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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