Basis von Vektoren

17.11.2012, 13:46	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Vektoren Hallo, ich habe mich an folgender Aufgabe versucht und wollte wissen, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist, da ich momentan leider nicht weiterkomme. "Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass die Vektoren (a,b),(c,d) genau dann eine Basis bilden, wenn ad-bc ungleich 0 ist." Ich habe mir gedacht, Vektoren bilden dann eine Basis, wenn sie ein Erz-System und Lin. unabh. sind. Soweit so gut, wenn ich das dann nachrechne, komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht, wie man dann explizit zeigen kann, dass dies nur der Fall ist, wenn ad-bc ungleich 0 ist. Vllt. kann mir jmd. einen Tip geben? Oder ist mein Ansatz bereits falsch? Danke.
17.11.2012, 14:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es genügt zu zeigen, dass die Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn ad-bc=0. Denn 2 l.u. Vektoren bilden immer eine Basis eines 2-dimensionalen Vektorraumes. ad-bc heißt übrigens Determinante, von daher ist die Aussage klar, wenn man weiß, was Determinanten sind. Also ist die Aussage richtig.
17.11.2012, 15:09	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Kann man das dann auch noch explizit zeigen? Oder reicht es dann einfach zu sagen, dass ad-bc die Determinante ist und diese sowieso immer ungleich 0 sein muss, damit die Vektoren überhaupt l.u. sind? /e Oder mache ich dann einfach folgendes: Für l.a. gilt ja: µ(a,b)=(c,d), also erhalte ich das Gleichungssystem: µa=c µb=d => µ=c/a in die untere Gleichung => (cb)/a=d => bc=ad => ad-b*c=0 Und das wars?
17.11.2012, 17:28	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann vllt. noch jemand kurz was dazu sagen?
17.11.2012, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht explizit gut aus ... ABER was machst du mit dem Fall a=0 ??? UND was ist mit der Umkehrung der Aussage ???
18.11.2012, 09:39	Specialagent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also ich habe folgendes gemacht: ad-bc=0 => a=(bc)/d mit d ungleich 0. Ist a=0, so muss entweder b oder c =0 => Führt zur l.a. von (a,b),(c,d). Ist a ungleich 0, folgt b,c ungleich 0 und somit (a/c)=(b/d) = µ $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
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18.11.2012, 10:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das genügt nicht. Die Aussage lautet "... genau dann wenn ..." . $\begin{eqnarray} ad-bc \ne 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Darin sind zwei Aussagen enthalten. $\begin{eqnarray} ad-bc \ne 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. UND $\begin{eqnarray} ad-bc \ne 0 \Leftarrow \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Das ist logisch gleichbedeutend mit der Negation beider Aussagen. $\begin{eqnarray} ad-bc = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear abhängig. UND $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ linear abhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow ad-bc = 0 \end{eqnarray}$ . Was du bisher gezeigt hast ist die Aussage "(a,b),(c,d) l.a. folgt ad-bc=0" , und das nur für a ungleich 0. d ungleich 0 kannst du ebensowenig voraussetzen, auch das führt zu einer Fallunterscheidung. (Irgendwo muss in deiner Argumentation auch zulässig sein, dass a=b=c=d=0 gilt).

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