Folge komplexer Zahlen

17.11.2012, 13:48	a+b*i	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge komplexer Zahlen Meine Frage: Zu zeigen: Für $\begin{eqnarray} z = cos (\alpha) + i sin (\alpha) \end{eqnarray}$ folgt aus $\begin{eqnarray} 1+z+..+z^{n}= \frac{z^{n+1}-1}{z-1} \end{eqnarray}$ (hab ich bereits bewiesen) $\begin{eqnarray} 1+z+..+z^{n}= \frac{(z^{n+1}-1)(z/-1)}{2-2cos(\alpha) } \end{eqnarray}$ mit z/ als komplexes Konjugiertes. Außerdem: Leiten Sie daraus Formeln für $\begin{eqnarray} sin\alpha +...+sin (n\alpha ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1+ cos\alpha +...+cos (n\alpha ) \end{eqnarray}$ her Meine Ideen: Ich habe versucht von $\begin{eqnarray} \frac{z^{n+1}-1}{z-1} \end{eqnarray}$ irgendwie auf $\begin{eqnarray} \frac{(z^{n+1}-1)(z/-1)}{2-2cos(\alpha )} \end{eqnarray}$ indem ich $\begin{eqnarray} z = cos( \alpha) + i * sin (\alpha) \end{eqnarray}$ einsetze. Komme aber nicht weit: $\begin{eqnarray} \frac{(cos (\alpha) + i * sin( \alpha))^{n+1}-1}{cos (\alpha )+ i * sin( \alpha)-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{((cos (\alpha) + i * sin (\alpha))^{n}(cos (\alpha) + i sin( \alpha)))-1}{cos( \alpha) + i * sin( \alpha)-1} \end{eqnarray}$ Habe auch schon alles mögliche versucht, wie z.B. mit z/ erweitert. Wäre dankbar für ein paar Hinweise, wie ich zur Lösung kommen könnte. Ist mein Ansatz überhaupt ok? Um mir die Formel herzu leiten wollte ich auch wieder $\begin{eqnarray} z = cos( \alpha) + i * sin (\alpha) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} 1+z+..+z^{n} \end{eqnarray}$ einsetzen. Also $\begin{eqnarray} (cos( \alpha) + i * sin (\alpha))^{0}+ (cos( \alpha) + i * sin (\alpha))^{1}+... (cos( \alpha) + i * sin (\alpha))^{n} = \frac{(z^{n+1}-1)(z/-1)}{2-2cos(\alpha) } \end{eqnarray}$ und dann wollt ich nach cos/sin auflösen, aber ich weiß nicht wie... Kann man eigentlich auch irgendwie Induktion anwenden?

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