e-Funktionsschar

17.11.2012, 15:08

Mathe für mich 2

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e-Funktionsschar

Meine Frage:
Hihi,

ich hab mal wieder eine Aufgabe von meiner Lehrerin bekommen. Den ersten Teil konnte ich fast problemos lösen, aber jetzt weiß ich leider nicht weiter und hoffe, dass mir jmd. helfen kann.

Aufgabe:
fa(x) = (x/a) * e^(ax)

a) Zeigen Sie, dass die Fläche, die sich zw. der x-Achse und dem Graphen von fa im 3. Quadranten ins Unendliche ausdehnt, einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen in abhängigkeit von a an.

b) Der Graph von f1 soll durch eine qudratische Parabel approximiert werden, die durch die Nullstelle und den Extremalpunkt von f1 läuft. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Näherungsparabel und berechnen Sie die Maximalabweichung für -1 <= x <= 0 (<= meint kleiner; gleich).

Meine Ideen:
ich hab leider keine Vorstellung, wie ich bei den Aufgaben vorgehen soll. Ich weiß nicht, wie ich beginnn soll...

Danke schon einmal im Vorraus

17.11.2012, 15:20

Bjoern1982

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Hast du dir den Graphen für a=1 schonmal skizziert ?

17.11.2012, 15:35

Mathe für mich 2

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ja das hab ich mal getan

man sieht hat, dass der Graph sich ab -5 sehr stark der x-Achse zu wendet, aber ihn niemals schneidet

17.11.2012, 16:09

Bjoern1982

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Das ist richtig. Wenn man jetzt integrieren wollte, welche Grenzen könnten man dann nehmen ?
Ist für a eigentlich noch ein Definitionsbereich angegeben ? Denn für alle a passt der Sachverhalt nicht.

17.11.2012, 16:36

Mathe für mich 2

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ja a>0

als Grenzen würde ich 0
und minus unendlich denken

17.11.2012, 18:01

Bjoern1982

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Ja, nur dass du formal korrekt lieber von a bis 0 integrieren und am Ende dann den Limes für a gegen minus unendlich ins Spiel bringen solltest.

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17.11.2012, 18:51

Mathe für dich 2

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okay danke für den Tipp,
dann werde ich es gleich mal so versuchen
danke

17.11.2012, 18:58

Mathe für mich 2

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okay..
ich glaub ich mach etwas falsch
denn mein uneigentlicher Inhalt beträgt -1

17.11.2012, 19:12

Mathe für mich 2

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ich weiß, dass eigentlich 1 herauskommen müsste

17.11.2012, 19:15

Mathe für mich 2

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also ich bin mir gerae unsicher...

mein a beim Integral wäre doch a
und
mein b beim Integral wäre doch null

oder

17.11.2012, 21:04

Mathe für mich 2

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mir ist gerade aufgefallen,
dass es bei Aufgabe a fa heißen muss und nicht f1
tut mir leid traurig

traurig

17.11.2012, 21:11

Mathe für mich 2

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Ohhh tut mir leid..
da hab ich mich eben verguckt
hab doch alles richtig geschrieben

tut mit leid für die Verwirrung

17.11.2012, 21:59

Bjoern1982

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Zitat:

denn mein uneigentlicher Inhalt beträgt -1

Naja das liegt ja dann nur daran, dass der Graph eben im 3. Quadranten, also im Minusbereich liegt.
Das Problem kriegt man mit Betragsstrichen ja ganz einfach in den Griff.
Wie du schon bemerkt hast, hast du das wohl direkt für a=1 gemacht, du musst es aber allgemein integrieren, also den endlichen Flächeninhalt in Abhängigkeit von a angeben.
Ich wollte durch meine Bemerkung mit dem Graphen für a=1 nur bezwecken, dass du dir den Sachverhalt besser vorstellen kannst.

Zudem hatte ich vorhin ja vorgeschlagen die untere Integralgrenze mit a zu bezeichnen.
Das ist allerdings eher ungeschickt, weil der Parameter a ja schon in der Schar auftaucht.
Deswegen nenn die untere Grenze lieber b oder so. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2012, 22:55

Mathe für mich 2

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okay dann nehm ich b...

ist meine stammfunktion richtig
F(x)= (x^2*e^(ax))/2a

17.11.2012, 23:30

Bjoern1982

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Nein, du brauchst hier partielle Integration.

17.11.2012, 23:48

Mathe für mich 2

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okay... dann versuch ich es morgen nochmal...
danke für deine Hilfe bis jetzt

18.11.2012, 10:57

Mathe für mich 2

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gut..
ich hab dabn mal die partielle Integration versucht
und erhalte

F(x)= ( ((1/2)x^2 ) / a - (x/a)) e^(ax)

ich hoffe es stimmt diesesmal
und wenn niht brauche ich wirklich hilfe

danke
lg

18.11.2012, 16:21

Mathe für mich 2

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ja das finde ich ja selber nicht so toll...

aber ich schaffe es leider ohne hilfe nicht

tut mir leid, wegen dem neuen Thread traurig

traurig

18.11.2012, 16:26

Bjoern1982

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Ohne Rechenweg kann man da nicht so viel zu sagen.
Zudem wäre es schön, wenn du dich aus Lesbarkeitsgründen mal mit dem Formeleditor beschäftigst.
Ich mach mal einen Anfang:

$\begin{eqnarray*} u=\frac{x}{a} \rightarrow u'=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=e^{ax} \rightarrow v=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_b^0 \! \frac{x}{a} \cdot e^{ax} \, dx =... \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 16:30

Mathe für mich 2

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danke, dass du mir hilfst...
das ist mir echt wichtig

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x}{a} = \frac{1}{a} <br /> e^{ax} = e^{ax} \end{eqnarray*}$

so hätte ich erst einmal gedacht

danke nocmal

18.11.2012, 16:33

Bjoern1982

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Da fehlt noch das u,u',v und v'.
v stimmt nicht ganz. Bedenke, dass v abgeleitet ja $\begin{eqnarray*} v'=e^{ax} \end{eqnarray*}$ ergeben muss (Kettenregel).

18.11.2012, 16:37

Mathe für mich 2

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also müsste es so heißen $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> v = \frac{1}{a} e^{ax} \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 16:39

Bjoern1982

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Genau, sehr gut.
Nun musst du alles in die Formel für die partielle Integration einsetzen.
Ruhig auch sofort mit den Grenzen.

18.11.2012, 16:45

Mathe für mich 2

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also heißt es dann
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_b^0 \! f(x) \, dx =\frac{x}{a } *e^{ax} = \frac{1}{a} * \frac{1}{a} e^{ax} - \int \! \frac{x}{a} *e^{ax} \ \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 16:51

Bjoern1982

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Nein, schau dir nochmal die Formel genau an:

http://www.frustfrei-lernen.de/images/ma...-beispiel-1.jpg

18.11.2012, 16:55

Mathe für mich 2

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okay hab ich getan
$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_b^0 \! f(x) \, dx =\frac{x}{a } *e^{ax} = \frac{x}{a} * \frac{1}{a} e^{ax} - \int \! \frac{1}{a} *\frac{1}{a} e^{ax} \ \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 17:04

Bjoern1982

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Ja, du meinst das Richtige, ich schreibe es nur nochmal etwas um:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_b^0 \! \frac{x}{a } \cdot e^{ax} ~dx= \left[\frac{x}{a^2} \cdot e^{ax}\right]_{b}^{0} - \frac{1}{a^2} \int_b^0 \! e^{ax} ~dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt noch das (nun einfach zu lösende) Integral bestimmen, die Grenzen überall einsetzen und b gegen minus Unendlich streben lassen.

18.11.2012, 17:08

Mathe für mich 2

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okay danke,
dann werde ich mal mein Glück versuchen

18.11.2012, 17:13

Mathe für mich 2

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so ich hab jetzt

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{a^{2} } \end{eqnarray*}$

man könnte das ganze jetzt in bertagsstriche setzten, damit man einen pos. Wert erhält

18.11.2012, 17:18

Mathe für mich 2

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und, wenn man jetzt das ganze in Abhängigkeit von a betrachtet,
erhält man

a = 1 (läuft es gegen 1)
a<1 (läuft es gegen unendlich)
a> 1 (läuft es gegen 0)

18.11.2012, 17:22

Bjoern1982

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Ich kam auf $\begin{eqnarray*} A(a)=\frac{1}{a^3} \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 17:24

Mathe für mich 2

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mhh okay..
dann muss ich wohl nochmal über meine rechnung schauen

18.11.2012, 17:26

Mathe für mich 2

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okay..
hab meinen Fehler gefunden Freude

Freude

18.11.2012, 17:31

Mathr für mich 2

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okay..
dann haben wir (bzw ich durch deine tolle Hilfe) a geschafft
vielen tausend Dank dafür
Gott

Gott

und bei b)
heißt da approximiert angenähert...

18.11.2012, 17:36

Bjoern1982

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Ja das heißt es.
Man soll (im angegebenen Intervall) den Graph von f1 (a=1) alternativ durch eine quadratische Funktion der Form g(x)=ax²+bx+c annähern.

18.11.2012, 17:37

Mathe für mich 2

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okay ... danke

dabei muss ich doch beachten, dass die quadratische Parabel durch die Nullstelle und den Extrempunkt gehen muss..

18.11.2012, 17:41

Bjoern1982

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...was zu drei Bedingungen (Gleichungen) für die drei Unbekannten a,b,c führt.
(Man könnte auch mit der Scheitelpunktform arbeiten).

18.11.2012, 17:42

Mathe für mich 2

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also
g(x) = 0
g'(x) = -0,37

und die dritte?

18.11.2012, 17:45

Mathe für mich 2

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nee warte

g(0) = 0
g'(-1) = 0
g''(-1) = -0,37

18.11.2012, 18:01

Bjoern1982

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Die 2. Ableitung hat hier nichts zu suchen.
-0,37 (genauer -1/e) ist ja ein ganz normaler Funktionswert.

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