Teilmengen von Gruppen

Neue Frage »

Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen von Gruppen
Aufgabe:
Sei A ein Teilmenge der Gruppe G mit Verknüpfung * . Zeigen Sie:



In Worten, die Untergruppe <A> besteht aus allen Verknüpfungen, die man aus
Elementen von A und ihren Inversen bilden kann.

Wobei * nicht mal bedeutet

Dies ist die gesamte Aufgabe was muss ich hier explizit beweisen bzw. zeigen?

Danke
Slender Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt
.
Also insbesondere ist B ein Gruppe. Also gilt was im Zusammenhang mit der Aufgabe?
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Slender
Es gilt
.
Also insbesondere ist B ein Gruppe. Also gilt was im Zusammenhang mit der Aufgabe?


Also
<A> ist eine Gruppe
Aber was ist U?
Slender Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Schnitt aller Untergruppen von G, die A enthalten. Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen und daher ist das Erzeugnis von A die kleinste Untergruppe die A enthält.
Für dich ist aber nur wichtig, dass eine Untergruppe ist, also insbesondere eine Gruppe und dass .
Was ist denn eine Gruppe?
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Gruppe ist:
- in sich abgeschlossen
- nicht leer
- es glit (a *b) *c= a*`(a* b)
- es gibt ein Element e mit e * a = a
- jedes Element der Gruppe hat ein inverses
Slender Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste und letzte Punkt ist sehr interessant für diese Aufgabe.
Was heißt abgeschlossen?
 
 
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht ob ich auf dem Holzweg bin aber derSchnitt aller Untergruppen ist ({e} *)

Abgeschlossen heißt das a * b wieder in der Gruppe liegt
Slender Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du super erkannt, jedoch ist das Erzeugnis von A der Schnitt aller Untergruppen, die enthalten. Das heißt, wir schneiden nur die Gruppen die oberhalb von liegen.

Ein Beispiel:

Wir betrachten alle Reste ganzer Zahlen, welche beim Teilen durch 4 entstehen.
Also die Menge .
Mit der typischen Verknüpfung in Restklassengruppen wird zu einer Gruppe.
Sei nun . Dann ist
.

Was sind die Untergruppen von ?
. Welche enthalten ?.

Nur die Gruppen .
Wie sieht der Schnitt aus:
.

Also ist .

Das ist wichtig, dass du diese Zusammenhänge verstehst, um allgemein Aufgaben der Gruppentheorie lösen zu können.
Und jetzt versuche Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung miteinzubeziehen.

Übrigens ist das Erzeugnis eine Menge und kein Gruppenelement. (auf deine erste Nachricht bezogen)
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Da eine Gruppe Abgeschlossen ist, exestiert ein element mit für n>1 und das neutrale element.
Slender Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht zwangsläufig. Nur immer im endlichen Fall. Siehe das Beispiel und das Element . Dann existiert keine natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft. Im übrigen ist die kleinste natürliche Zahl n, die für ein erfüllt, die sogenannte Ordnung des Elementes ; also . Aber nur so am Rande.

In unserem Fall, wollen wir doch zeigen, dass
, wobei beliebige Indexmengen sind (ich sag jetzt, dass die Multiplikation unsere Verküpfung ist).
Wenn also per Definition eine Gruppe ist ( Schnitte von Gruppen sind Gruppen) , ist denn nicht zwangsläufig ...

Vergegenwertige dir nochmal, was ein Erzeugnis ist!
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich komme noch einmalzur meiner Ausgangsfrage zurück, was muss ich expliziet zeigen ?
So lange ich das nicht weiss ist es schwierig weiter zukommen.

Also wenn <A> eine Gruppe so sind auch alle vielfachen von <A> eine Gruppe
Nipsild Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir den Niemand sagen was ich hier zeigen muss?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »