Konvergenz von Folgen

17.11.2012, 17:08

Mathestudentt

Konvergenz von Folgen

Guuude

Stehe vor dieser Aufgabenstellung:

Zeigen Sie, dass die folgende Folge gegen 0 konvergiert. Geben Sie dazu zu einem vorgegeben $\begin{eqnarray*} E > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} | a_{n} | < E \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} } \end{eqnarray*}$ .

Mein Weg:

Durch einsetzen in die Definition folgt:

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{\sqrt{n+1} } | < E \end{eqnarray*}$

Die Betragsstriche können weggelassen werden, da die linke Seite immer positiv ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n+1} } < E \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < E^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{E^2} -1 < n \end{eqnarray*}$

Definiere:

$\begin{eqnarray*} N0 := \left[\frac{1}{E^2}-1+1 \right] = \left[\frac{1}{E^2} \right] \end{eqnarray*}$

Wobei die eckigen Klammern, fürs aufrunden stehen sollen..

Nun ist:

$\begin{eqnarray*} n > \left[\frac{1}{E^2} \right] > | \frac{1}{E^2}-1 | > \frac{1}{E^2}-1 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} E > | \frac{1}{\sqrt{n+1} } | \end{eqnarray*}$

Stimmt die Vorgehensweise? Kann bitte jemand alle Schritte überprüfen und gegenfalls Tipps geben? smile

Wäre wirklich sehr sehr dankbar smile

20.11.2012, 09:34

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen
Im prinzip alles ok, wobei ich an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Mathestudentt
Nun ist:

$\begin{eqnarray*} n > \left[\frac{1}{E^2} \right] > | \frac{1}{E^2}-1 | > \frac{1}{E^2}-1 \end{eqnarray*}$

den Zwischenschritt mit den Betragsstrichen weglassen würde.

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