Konvergenzuntersuchung von Reihen

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17.11.2012, 18:08	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzuntersuchung von Reihen Meine Frage: Ich soll folgende Reihen auf Konvergenz untersuchen: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^{n}(n^{2}+2n) }{3^{n} (n^{2}-3)} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+2}{2n^{2}-3} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{n^{2}-n-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu a) also (2/3)^n ist ja eine geometrische Reihe die konvergiert weil q < 1 ist. Der Rest des Terms geht ja für ein großes n gegen 1, ist damit schon bewiesen das die Reihe konvergiert ? zu b)Die Reihe sieht auf den ersten Blick einfach aus aber ich komm da nicht richtig weiter. Meine Vermutung ist, dass sie konvergiert. Finde aber keine passende Majorante (hab zb (n+2)/(n^2) probiert aber bei der kann ich die Konvergenz wieder net beweisen -.-...... zu c) dachte auch hier an eine Majorante aber kann keine passende finden... Schonmal danke für etwaige Hilfestellungen !
17.11.2012, 18:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das reicht für den Nachweis der Konvergenz bei a) nicht aus. Entweder findest du hier eine passende Majorante, oder du versuchst es z.B. mal mit dem Quotientenkriterium. Bei b) solltest du lieber nach einer Minorante suchen, die Reihe konvergiert nämlich nicht.
17.11.2012, 19:03	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke für die Antwort ! bei a) würd ichs ja gerne mit ner Majorante versuchen aber finde keine.. bei b) ok da hatte ich nen Denkfehler, dass sie divergiert ist mir jetzt klar, find nur wieder kein Minorante...gleiches bei c) Hab generell Probleme passende Majo bzw Minoranten zu finden, vor allem wenn nicht 1 im Zähler oben steht, wie muss ich das dann handhaben ? Gibts da irgendwelche nützlichen Tricks oder vorgehensweisen bei solchen Reihen passende Majo- Minoranten zu finden ?
17.11.2012, 19:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuch dich für die a) mal am Quotientenkriterium, das führt auch zur richtigen Lösung. Zu Majoranten/Minoranten: geh da ruhig brutal vor, die Abschätzung muss keine besonders gute sein (natürlich sollte sie korrekt und zielführend sein). So ist z.B. $\begin{eqnarray} \frac {n+2}{2n^2-3}\geq \frac n{2n^2-3} \end{eqnarray}$ , ähnlich kann man noch den Nenner bearbeiten und weiter abschätzen und schon hat man eine Minorante gefunden.
17.11.2012, 19:22	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ok zu a und b alles klar jetzt^^ bloß bei c steh ich dann schon wieder am Schlauch, find da einfach keine passende Majorante (wenn im Nenner (n^2+n+1) wär würds einfach sein aber so ?!?)...
17.11.2012, 19:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Geh auch hier ruhig brutal ans Werk. Du hast schon vermutet, dass die Reihe konvergiert, also suchen wir eine Majorante, also einen Ausdruck $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac {4}{n^2-n-1}<b_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum b_n <\infty \end{eqnarray}$ . Versuch mal den Nenner zu bearbeiten, diesen solltest du geschickt verkleinern.
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17.11.2012, 19:41	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ein Versuch: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}-n-1} \leq \frac{1}{n^{2}-2^{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}-2^{n}} \Rightarrow \frac{1}{n^{2}} - (\frac{1}{2})^{n} \end{eqnarray}$ --> das ist ja beides Konvergent müsste also passen... $\begin{eqnarray} n^{2}-n-1 \geq n^{2}-2^{n} \end{eqnarray}$ --> müsste doch gelten, zumindest ab einem gewissen n, ab dann aber für alle oder ? Kann man das so machen ?
17.11.2012, 20:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \frac 1{n^2-2^n}=\frac 1{n^2}-\frac 1{2^n} \end{eqnarray}$ ?
17.11.2012, 20:49	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh verdammt^^ sitzt einfach schon zulange rum an diesem Ding...na gut wieder nix gewesen, keine Ahnung mehr bei dem...
17.11.2012, 21:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es denn mal mit $\begin{eqnarray} \frac 1{n^2-n-1}\leq \frac 1{n^2-n-\frac 14n^2} \end{eqnarray}$ ab einem bestimmten Index $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ (welcher wäre das)?
18.11.2012, 10:15	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
das ganze würde ab einem $\begin{eqnarray} n_{0} \geq 2 \end{eqnarray}$ funktionieren. Hab dann aber Probleme mit deiner Majorante weiterzurechnen, bei dieser müsste ich ja wieder Konvergenz zeigen (weil keine anderen Kriterien anwendbar sind, zumindest find ich kein passendes) müsste ich ja wieder mit Majoranten arbeiten und steh wieder vorm selben Problem ?
18.11.2012, 10:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was habe ich denn in meiner Abschätzung vorgenommen? Ich habe den konstanten Teil gegen $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ , also die höchste Potenz von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ im Nenner, abgeschätzt. Geht das nicht zufällig nochmal?
18.11.2012, 12:53	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh auch nicht warum du hier gerade $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}n^{2} \end{eqnarray}$ genommen hast, ich denke das wird später auf irgendeinen Trick hinauslaufen ? Mir ist klar das das dann eine Majorante ist aber mehr auch nicht. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}-n-\frac{1}{4}n^{2} } \end{eqnarray}$ --> das einzige Konstante im Nenner ist das 1/4. Die höchste Potenz im Nenner ist immer noch n^2. Soll ich für das 1/4 jetzt wieder $\begin{eqnarray} \frac{1}{4}n^{2} \end{eqnarray}$ setzen ? Führt ja wieder zu nix ? Ich versteh das alles nicht... wenn das ganze $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2}+n+1} \end{eqnarray}$ heißen würde wär mir das alles klar, aber sobald da ein Minus ist, komm ich nie auf etwas....
18.11.2012, 13:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für einen Vorteil hat es denn, dass jetzt im Nenner $\begin{eqnarray} n^2-n-\frac 14n^2 \end{eqnarray}$ steht? Könnte man da vielleicht etwas zusammenfassen? Mein Ziel ist es, im Nenner nur noch ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ stehen zu haben. Und warum gerade $\begin{eqnarray} \frac 14n^2 \end{eqnarray}$ ? Weil ich ein paar Versuche für so eine Abschätzung ausprobiert habe, und mit dem nächsten Schritt (abschätzen von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen...) es schön auskommt.
18.11.2012, 13:26	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
naja zuerst dachte ich ja an eine binomische Formel aber kam auf nichts. Dann hab ich die n^2 zusammengefasst und bin wieder auf nichts gekommen. Zumindest anfangs... Aber jetzt ein neuer Ansatz: (diesmal hoffentlich ohne grobe Schnitzer^^) $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{3}{4}n^{2}-n } \leq \frac{1}{\frac{3}{4}n^{2}-\frac{2}{4}n^{2} } \end{eqnarray}$ weil: $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}n^{2}-n \geq \frac{3}{4}n^{2} - \frac{2}{4}n^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}n^{2} \geq \frac{3}{4}n^{2} - \frac{2}{4}n^{2} +n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{3}{4}n^{2} \geq \frac{1}{4}n^{2}+n \end{eqnarray}$ --> das stimmt ab einem gewissen $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ . Und: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{1}{4}n^{2} } = 4 \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray}$ --> und das ist ja konvergent. Stimmt das so ?
18.11.2012, 13:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, diese Abschätzung kann man so machen.
18.11.2012, 16:04	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok wenigstens etwas du hättest es sicher etwas anders gemacht denk ich....

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