Varianz von exponentialverteilte Zufallsvariable X berechnen

17.11.2012, 23:26	deppensido	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz von exponentialverteilte Zufallsvariable X berechnen Hallo es geht um die Aufgabe im Anhang. Meine Lösung bisher: Sei a:= lambda Ich habe bereits für E(X) = 1/a raus. Die Formel für V(X) heißt ja: V(X)= E(X^2) - (E(X))^2 für E(X^2) habe ich nun das Integral von 0 bis unendlich gerechnet mit: x^2 * ae^(-ax) dx. Hoffe man kann lesen was ich meine. Da habe ich aber 1/a^2 raus, womit V(X) = 1/a^2 - 1/a^2 = 0 wäre? Bei Wikipedia steht aber, dass man für V(X) 1/a^2 rausbekommen soll. Habe ich vielleicht für E(X^2) die Formel falsch interpretiert? Schon mal danke! Gruß, Volker
18.11.2012, 10:03	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es steht bei dir ja folgendes da: $\begin{eqnarray} E(x^2)=\int_0^{\infty} \! x^2 \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda x} \, dx \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine Konstante ist, kann man diese ausklammern. $\begin{eqnarray} E(x^2)=\lambda \int_0^{\infty} \! x^2 \cdot e^{-\lambda x} \, dx \end{eqnarray}$ Jetzt partiell integrieren: $\begin{eqnarray} E(x^2)=\lambda \bigg[\int_0^{\infty} \! x^2 \cdot e^{-\lambda x} \, dx \bigg] =\lambda \bigg[ \textcolor{blue}{-x^2 \cdot \frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda x} \overset{\infty}{\underset{0}{\bigg\|}}}- \int_0^{\infty} \! 2x \cdot \bigg(-\frac{1}{\lambda} \bigg) \cdot e^{-\lambda x} \, dx \bigg] \end{eqnarray}$ Jetzt den blauen Ausdruck ausrechnen: $\begin{eqnarray} E(x^2)=\lambda \bigg[\int_0^{\infty} \! x^2 \cdot e^{-\lambda x} \, dx \bigg] =\lambda \bigg[ 0-0- \int_0^{\infty} \! 2x \cdot \bigg(-\frac{1}{\lambda} \bigg) \cdot e^{-\lambda x} \, dx \bigg] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lambda \bigg[ -2\cdot \bigg(-\frac{1}{\lambda} \bigg) \int_0^{\infty} \! x \cdot e^{-\lambda x} \, dx \bigg] \end{eqnarray}$ eckige Klammer auflösen und das entsprechende $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ in das Integral schreiben: $\begin{eqnarray} = \frac{2}{\lambda}\cdot \int_0^{\infty} \! x \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda x} \, dx \end{eqnarray}$ Das Integral ist ja leicht zu bestimmen. Insbesondere, wenn man es schon bestimmt hat. Mit freundlichen Grüßen.
19.11.2012, 15:34	deppensido	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, danke für die Hilfe, damit kommt man leicht auf 1/lambda^2 womit die Aufgabe gelöst ist. Habe bei meiner Lösung das Integral dann einfach falsch aufgelöst, ist aber schön, dass zumindest der Ansatz korrekt war. Grüße, Volker
19.11.2012, 15:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Volker, dein Ansatz war ja schon hier korrekt. Deswegen konnte ich gleich bei $\begin{eqnarray} E(x^2) \end{eqnarray}$ ansetzen. Freut mich, dass Alles klar ist. Grüße.

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