Volumen Kugel Lebesgue

18.11.2012, 02:55

inßomnia

Volumen Kugel Lebesgue

Hallo,
Wir haben mit dem Lebesgue Integral $\begin{eqnarray*} \int_{K_{3}} \! 1 \, d(x,y,z) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K_{3}=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2} \right\} \end{eqnarray*}$ berechnet und $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \pi r^{3} \end{eqnarray*}$ erhalten. Also praktisch das Volumen einer Kugel, wonach die Menge K3 ja auch aussieht. Aber warum muss die Funktion, über die man integriert, dafür f(x)=1 sein? Also warum kommt für dieses f das Volumen der Kugel heraus und nicht für ein anderes f? Kann man sich das irgendwie vorstellen? Oder kann man gar nicht sagen, dass man damit wirklich das Volumen einer Kugel berechnet hat?

18.11.2012, 03:44

Dopap

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Zitat:

Original von inßomnia
....Oder kann man gar nicht sagen, dass man damit wirklich das Volumen einer Kugel berechnet hat?

doch das kann man so sagen. Einem Volumenelement $\begin{eqnarray*} \dd (x,y,z) \end{eqnarray*}$ wird per Funktion nur das Volumenelement zugeordnet. Deshalb die 1 als Funktion.

gäbe es z.B. eine DichteFunktion $\begin{eqnarray*} \rho(x,y,z) \end{eqnarray*}$ , dann wäre die Gesamtmasse

$\begin{eqnarray*} m=\int_{K_{3}} \, \rho (x,y,z) \, \dd (x,y,z) \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 04:03

Dopap

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oder man könnte das axiale Trägheitsmoment
oder das polare Trägheitsmoment
oder den Schwerpunkt
oder die Feldstärke in einen fernen Punkt...

bestimmen.

In Physik gibt es jedenfalls genügend Funktionen hierzu die nicht =1 sind.

Nur im Volumenfall ist die Funktion=1.

Das zum Verständnis.

Gruss
Dopap

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