Matrix, Eigenwerte

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15.07.2004, 18:38	Quese	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix, Eigenwerte In meinem Skript steht ein Satz, dass in ner Dreiecksmatrix die Eigenwerte in der Diagonalen stehen. Das seh ich ein. nun sei A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 &0&-2 \\ 1 & 1 & 1 &0&-1 \\1 & 0 & 2 &0&-1 \\ 1 & 0 & 1 &2&-2\\1 & 0 & 1 &0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich die umforme erhalte ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 &0&-2 \\ 0& 1/2 & 1/2 &0&0 \\0 & 0 & 2 &0&0 \\ 0 & 0 & 0 &2&-1\\0 & 0 & 0 &0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Eigenwerte sind aber 2,2,1,1,1 das kapier ich nicht....
15.07.2004, 18:47	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Matrix auch umgeformt und das selbe Erhalten, das heißt dann wohl wenn der Satz richtig ist, das die Lösung falsch ist.
15.07.2004, 18:49	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also soweit ich weiss stehen die Eigentwerte auf der Diagonalen, wenn die Matrix in Diagonalform ist Also wenn überall ausser auf der Diagonalen nur Nullen stehen. Und wenn du eine Matrix mit Zeilenumformungen umformst (hast du doch mit Zeilenumformungen gemacht, oder?) dann hat die Neue Matrix andere Eigenwerte. Damit die Eigenwerte erhalten bleiben muss man Ähnlichkeitsumformungen machen: Also Matrizen C und C^1 finden so dass A'=CAC^- Diagonalgestalt hat. Naja meiner meinung nach stimmt das nicht dass die Eigenwerte bei ner Dreicksmatrix auf der Diagonalen stehen.
15.07.2004, 18:54	Quese	Auf diesen Beitrag antworten »
hab das Ergebnis mit Maple überprüft... die Eigenwerte sind doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms und das is det(A-t*E) und die det einer Dreickmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente. Es sollte doch egal sein, ob ich die Matrix vorher umforme oder nicht... der Satz stammt aus ner Übungsaufgabe, ist also korrekt
15.07.2004, 19:12	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich geb einfach mal ein Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Matrix hat die Eigenwerte 1,1. Ich form die mal einfach mit Zeilenumformungen um, zB zu: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Matrix hat nun das charakteristische Polynom: $\begin{eqnarray} x^2-3x+1 \end{eqnarray}$ Und das hat dann die Nullstellen $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{5}+3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-(\sqrt{5}-3)}{2} \end{eqnarray}$ Also andere. Wenn man Zeilenumformungen macht beschreibt die Matrix zwar dasselbe Gleichungssystem aber muss nicht dieselben Eigentschaften haben. Wie dass ist mit der Dreiecksform und den Eigenwerten auf der Diagonalen weiss ich nicht, ich glaub da wüde ich eher dem Übungszettel trauen, irgentwie hatte ich es so im kopf :P
15.07.2004, 19:45	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Navajo hat es ja gerade gezeigt, äquivalente Zeilenumformungen ändern die Eigenwerte. Überprüfe nochmal ob der Satz nicht noch andere Vorrausetzungen hat!
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15.07.2004, 19:54	Quese	Auf diesen Beitrag antworten »
nach den Voraussetzungen für den satz hab ich schon geschaut, gibt keine weiter naja, wer weiß Zeilenumformungen ändern also nicht die Determinante, aber möglicherweise die Eigenwerte...
15.07.2004, 20:24	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja die Vorraussetzung ist ja dass die Matrix eine Dreiecksmatrix ist. Und die ist ja bei der Matrix nicht erfüllt. Was du machen kannst ist ein Basiswechsel oder halt Ähnlichkeitsumformungen (ist soweit ich weiss dasselbe ) so dass die Matrix Dreiecksgestalt hat. Aber ich kenn nur eine Methode dafür und da muss man die Eigenwerte schon wissen (das geht übre die Eigenvektoren), also würde das nichts bringen, aber vll weiss ja wer was besseres.
16.07.2004, 09:33	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Wenn ihr eine Matrix A gegeben habt, dann sind die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\begin{eqnarray} {\chi}_A \end{eqnarray}$ . Wenn diese Matrix ähnlich zu einer Matrix B ist, dann gibt es eine invertierbare Matrix P, sodass $\begin{eqnarray} B=PAP^{-1} \end{eqnarray}$ Das charakteristische Polynom von B ist: $\begin{eqnarray} \chi_B=\det(X\cdot E_n - PAP^{-1})=\det(P(X\cdot E_n-A)P^{-1})=\det(P)\cdot \det((X\cdot E_n-A) \cdot \det(P^{-1})=\\=\det(P)\cdot \det(X\cdot E_n-A)\cdot \frac{1}{\det(P)}=\det(X\cdot E_n-A)=\chi_A \end{eqnarray}$ Also haben die ähnlichen Matrizen A und B das gleiche charakteristische Polynom und somit die gleichen Nullstellen. Wenn ihr nun A durch Zeilenumformungen (oder Spaltenumformungen) und C verwandelt, dann macht ihr nichts anderes, als A mit invertierbaren Matrizen S und T zu multiplizieren: $\begin{eqnarray} C=SAT \end{eqnarray}$ Dann sind A und C aber nicht ähnlich! Für das charakteristische Polynom von C ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \chi_C=\det(X\cdot E_n - SAT) \end{eqnarray}$ Da hier aber S nicht das Inverse von T ist, ist dies nicht gleich $\begin{eqnarray} \chi_A \end{eqnarray}$ und somit haben A und C verschiedene Eigenwerte. Ich hoffe, das stimmt. Gruß Anirahtak
16.07.2004, 10:30	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Anirahtak, Ja, das ist richtig. Ich danke dir für deinen Beitrag. Damit hast du ihn mir abgenommen. Lieben Gruss, Irrlicht
16.07.2004, 11:20	FightingHamster	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu hab ich auch nur ne kurze Frage... zum das charakteristische Polynom, wie lautet das nun richtig? Bei uns im Skript steht: $\begin{eqnarray} det x_A = (\lambda\cdot E_n - A) \end{eqnarray}$ aber im Netz und in Büchern finde ich überall: $\begin{eqnarray} det x_A = (A - \lambda\cdot E_n) \end{eqnarray}$ Und da die Subtraktion nicht kommuntativ ist..... was is nun richtig?!?
16.07.2004, 11:35	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist eine Definitionsfrage; beides ist möglich. es geht ja sowieso nur drum, den Ausdruck von Null zu unterscheiden, oder? Hintergrund ist immer die Frage, ob $\begin{eqnarray} \lambda-A \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Ob man nun $\begin{eqnarray} \lambda-A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A-\lambda \end{eqnarray}$ schreibt, ist bei dieser Fragestellung egal. Man findet daher selbst in fortgeschrittener funktionalanalytischer Literatur beide Schreibweisen (z.B. für Resolventen). Liebe Grüße Mario

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