Charakteristik eines endlichen Körpers |
| 18.11.2012, 10:20 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Charakteristik eines endlichen Körpers Zu zeigen: Sei |K| ein endlicher Körper. Dann existiert eine natürliche Zahl n E N derart, dass n*1=1+1+1+1....+1=0 (das ganze n-mal addiert) gilt. Meine Ideen: Ich hab überhaupt keine Idee, wie ich anfangen soll. Bisher hab ich mir überlegt, dass K endlich ist, also nur endlich 1+1+1+1+...+1 addiert wird. Dazu hab ich gelesen, dass man sagen kann: PHI:Z->K ist ein Körperhomomorphismus, also gilt: PHI(a+b)=PHI(a)+PHI(b). Das heißt ich müsste jetzt zeigen, dass: PHI(1+1+1....+1)=PHI(1)+PHI(1)+...+PHI(1)=1+1+1+1...+1. Wie geht das Ganze jetzt weiter? Oder bin ich auf dem Holzweg? |
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| 18.11.2012, 10:26 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Hm, das hat mit einem "Körper" jetzt schon überhaupt nicht zu tun, sondern hängt damit zusammen, dass die additive Gruppe des Rings endlich ist... Daher, müssen sich die Zahlen in der Folge 1,1+1,1+1+1,... irgendwann wiederholen und danach braucht man nur noch zu kürzen und sowas wie steht da... Edit: Ich vermute ja, dass die Angabe ganz anders lautet, aber sag erstmal nichts dazu... |
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| 18.11.2012, 11:48 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers "Daher, müssen sich die Zahlen in der Folge 1,1+1,1+1+1,... irgendwann wiederholen und danach braucht man nur noch zu kürzen" Wie beweise ich denn sowas schriftlich korrekt? Und ist allein damit schon bewiesen, dass 1+1+1+....+1=0? |
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| 18.11.2012, 12:11 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Hm, wo ist da eigentlich das Problem? 
Wegen der Endlichkeit des Rings muss es zwei verschiedene natürliche Zahlen i,j geben, wobei wir. o.B.d.A, i>j voraussetzen dürfen, sodass gilt Indem man durch die rechte Seite kürzt, folgt daraus also mit n=i-j>0 dann die Behauptung... Edit: Aber noch einmal: Ist das jetzt wirklich die Angabe, oder ist das eine "selbstgestellte" Aufgabe? Komisch dabei ist, dass man die Körpereigenschaft ja gar nicht braucht... |
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| 18.11.2012, 12:13 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Hm, das klingt ja total logisch und einfach 
Ich danke dir vielmals! Hatte da einen riesen Beweis erwartet und nicht damit gerechnet, dass das so schnell gemacht ist. |
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| 18.11.2012, 12:20 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Ist das jetzt wirklich...nein, nicht nocheinmal. Falls mit der Angabe was nicht stimmt, wirst du es ohnehin noch früh genug merken...
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| 18.11.2012, 12:38 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Ach sorry, hab das mit der Frage nach der Angabe erst jetzt gelesen. Die Aufgabe setzt sich aus mehreren Aufgaben zusammen, dass K ein Körper ist, steht wirklich in der Aufgabe (nein, sie ist nicht selbst überlegt). |
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| 18.11.2012, 12:47 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Aha... Und sag jetzt bitte nicht, dass man u.a. dann auch noch zeigen muss, dass obiges n prim ist... |
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| 18.11.2012, 12:52 | LoLi93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Du hast es erfasst 
Das hab ich allerdings hinbekommen. |
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| 18.11.2012, 13:01 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Charakteristik eines endlichen Körpers Aso, das erklärt dann alles...
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