Ab welchem Startwert konvergiert eine rekursive Zahlenfolge

18.11.2012, 11:41	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ab welchem Startwert konvergiert eine rekursive Zahlenfolge Hallo, es geht um folgende Aufgabe: "Untersuchen Sie, für welche Startwerte $\begin{eqnarray} a_{1} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ die rekursiv definierte Zahlenfolge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} a_{n+1} = a_{n}(2-a_{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = 1, 2, 3, ..., \end{eqnarray}$ konvergiert bzw. divergiert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert." Also ich weiß dass die Folge für $\begin{eqnarray} a_{1} \leq 2 \end{eqnarray}$ konvergiert, aber ich weiß nicht wie ich das formal begründen könnte? Ist das erste mal dass eine rekursive Zahlenfolge in den Aufgaben vorkommt, deswegen bin ich damit noch etwas unsicher. Dank im Voraus
18.11.2012, 13:11	emanztips	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ein Ansatz könnte sein, dass du erst einmal untersuchst ob die Folge monoton wachsend oder monoton fallend ist und je nach dem Ergebnis suchst ob die Folge einen obere oder untere Schranke hat - damit schaffst du schon mal ein Fundamit für eine Konvergenz. Bezüglich des Grenzwertes musst du dir im klaren sein dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} \end{eqnarray}$

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