Volumen von Rotationskörpern

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Trox Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Rotationskörpern
Meine Frage:
Moin moin, smile

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

in Glas mit Flüssigkeit rotiert. Dabei nimmt die Flüssigkeitsoberfläche unter dem Einfluss von Fliehkraft und Schwerkraft ein parabelförmiges Profil an.

a) Berechnen Sie die Parabelgleichung.
b) Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen.
c) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas, wenn dieses nicht rotiert?

Meine Ideen:
Zuerst der Graph:

Das Koordinatensystem soll das Glas darstellen und die Parabel das Wasser.



a) Die Gleichung habe ich nun so bestimmt:


b) Hier wollte ich folgenden Ansatz nehmen


Bei V2 soll das Intervall von -1 bis 0 gehen, ich konnte es leider nicht besser darstellen. unglücklich

Könnte ich mit diesem Ansatz weiterrechen bzw. ist dieser richtig?

c) Hier wollte das maximalvolumen von dem Glas berechnen und anschließend ausrechnen wie hoch das Wasser stehen würde.

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

MfG

Trox smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen von Rotationskörpern
Warum setzt du als Grenzen 0 und 1 und nicht 0 und 2 ein? verwirrt
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt. :O
Da habe ich mich wohl verguckt.

Nun hätte ich


Wäre dies so richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das Problem ist auch, dass du mit der Umkehrfunktion arbeiten musst, weil du die Figur doch besser um die x-Achse rotieren lassen solltest.

(Dann müssen die Integrationsgrenzen auch noch mal überdacht werden.)

Das erste wäre also, die Umkehrfunktion zu bilden.
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir nun überlegt den Graphen, um 1 Stelle nach oben zu schschieben, damit ich die Umkahrfunktion besser bestimmen kann.



Das hatte ich jetzt als Umkehrfunktion.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde vorschlagen, wir verschieben nix und haben als Umkehrfunktion:



Und so sieht die Angelegenheit dann aus:



Wie würdest du jetzt die Integrationsgrenzen setzen, wenn du sie von deiner korrigerten Version [0;2] hierher überträgst?

smile
 
 
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wären die Integrationsgrenzen jetzt nicht [-1;3]?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum denn -1? geschockt

Gibt es etwas an der Aufgabe, was ich nicht weiß?

Und kennst du den Definitionsbereich von Wurzelfunktionen? verwirrt
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auch folgende Idee, ich verschieden den Graphen nach rechts.

Die Funktion wäre:

Und die Granzen wären [0;4]
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
Warum denn -1? geschockt

Gibt es etwas an der Aufgabe, was ich nicht weiß?

Und kennst du den Definitionsbereich von Wurzelfunktionen? verwirrt


Das Wasser reicht ja auf der y-Achse von -1 bis 0. Hab deswegen diesen Ansatz verwendet.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so. Jetzt sehe ich das auf der ersten Grafik, alles klar.
Nun, das Volumen der Flüssigkeit von -1 bis 0 (also 1 Höheneinheit) sollte klar sein, dazu brauchen wir nur das Zylindervolumen für 1 Höheneinheit zu berechnen.

Interessant (und nicht von vornherein bekannt) ist ja der Teil, der sich an den Rand schiebt.
Ich würde also vorschlagen, dass wir für unsere Rechnung 0 als untere Grenze einsetzen und dass wir auch jetzt nichts verschieben.
Wie lautet dann die obere Grenze?

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde 4 vorschlagen. Wir gehen jeweils bei den Grenzen um einen Wert nach oben.

Ich habe auch mal versucht das Volumen mit der verschobenen Funktion zu berechnen.

Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich es mit der nicht verschobenen versucht.

sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit deinen Grenzen nach oben gehst, wird deine Rechnung falsch. Du beachtest nicht, dass die untere Volumeneinheit nicht (!) an der Parabelbildung beteiligt ist.
Schau dir deine Eingangszeichnung nochmal genau an.

Hier habe ich mal Original und Umkehrfunktion zusammen gezeichnet:



Siehst du jetzt klarer?

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es 2? Sorry, dass ich es gerade sehr langsam verstehe. Mein Kopf raucht grad. Ich sitze schon mehrere Tage an der Aufgabe. traurig

edit von sulo: Vollzitat entfernt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir so: Du hattest auf der ursprünglichen Funktion den Punkt (2|3) als höchsten Punkt der Flüssigkeit.
Bei der Umkehrfunktion ist es der Punkt (3|2).

Vergleiche beide Punkte mal auf der Grafik.

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Umkehrfunktion ist der Punkt (3|2) der höchste Punkt. Ich würde dann ebenfalls den höchsten Punkt als Grenze nehmen und hätte [0;3] als Grenze.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude

Dann kannst du jetzt ans Integrieren gehen. smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar. smile



Das wäre mein Ergebnis für das Volumen.

Jetzt noch zur c).

Das Wasser füllt das Glas ja nicht komplett. Über dem Wasser entsteht ein Rechteck. Müsste ich jetzt mit der Grenze um 1 nach oben gehen um das Maximalvolumen das Glases zu berechnen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so schnell.

Was du (übrigens richtig Freude ) berechnet hast, ist das Rotationsvolumen der gelben Fläche.
Wir brauchen aber die blaue.

[attach]26762[/attach]

Um die Differenz berechnen zu können, brauchen wir Angaben zum Glas. Sind die Einheiten Zentimeter?
Hat das Glas also einen Durchmesser von 4 cm?
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Text steht keine Einheiten dabei. Aber mein Tutor meinte wir sollen falls nichts dabei steht in cm bzw. cm³ rechnen. Wenn ich mir das Bild anschaue kommt leider keine Idee wie ich die blaue Fläche berechne. unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst einfach vom Gesamtvolumen das bekannte abziehen. Augenzwinkern

Kippen wir mal das Ganze wieder zurück:

[attach]26763[/attach]

Du musst also das Volumen mit r = 2 cm und h = 3 cm berechnen und dann das gelbe errechnete Volumen abziehen.
Abschließend muss noch das Volumen unterhalb der x-Achse addiert werden, dann haben wir das gesamte Flüssigkeitsvolumen errechnet.

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es:



Ich habe für h statt 3; 4 gewählt um so direkt, das gesamte Volumen zu berechnen.

Mein Ergebnis erscheint mir aber nicht logisch, da die gelbe Fläche größer ist als die blaue.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst: Dein errechnetes Volumen stimmt. Freude

Ich habe es mit 10 pi angegeben, ist vielleicht etwas schicker. Augenzwinkern

Auf die Darstellung in den Grafiken darfst du nichts geben, weil die Achsen nicht in gleichen Abständen gestreckt sind.
Vielleicht siehst du es eher, wenn du dir den Graphen deiner Funktion mal auf Karopapier zeichnest. Augenzwinkern

Kannst du jetzt die letzte Aufgabe lösen?
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei der c) würde ich nun folgenden denken:

Auf der ersten geht das Glas auf der y-Achse von -1 bis 4, was 5 Schritten entspricht. Wegen den 5 Schritten ist es auch ein Gesamtvolumen von ca. 50cm³. Und da das wasser ein Volumen von 30cm³ hat schneidet es die y-Achse bei P(0|2). Das Wasser füllt 60% von dem Glas aus.

smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich wünschte, ich könnte das nachvollziehen. Du hast da etwas berechnet, nach dem gar nicht gefragt war, schein mir ... verwirrt

Ich würde so vorgehen:

Das Volumen der Flüssigkeit beträgt 10 pi.
Das Volumen des Glases beträgt pi·r²·h = 4·pi·h

Mit diesen Gleichungen lässt sich die Höhe der Flüssigkeit im ruhenden Glas berechnen, denn danach war gefragt:
Zitat:
c) Wie hoch steht die Flüssigkeit im Glas, wenn dieses nicht rotiert?

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich beides von einander abziehe komme ich auf 18,85. Ist das die Höhe?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ein Volumen von einem Volumen subtrahierst, hast du weiterhin ein Volumen. Augenzwinkern

Wir brauchen einfach die Höhe, die ein gegebenes Volumen in einem Zylinder mit gegebenen Radius hat.

Setze doch mal alles ein.

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben bei den Volumen 4 und 3 als Höhe. Wäre die Höhe folglich also 1? verwirrt
Ich steh grad echt auf dem Schlauch....
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung wäre: 10 pi (=gegebenes Volumen) = pi·2²(= gegebener Radius)·h

Einfach nach h auflösen.

smile
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Dann komme ich trotzdem auf 18,85. unglücklich

31,42=12,57*h | -12,57
h=18.85

verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch Unsinn. Die Flüssigkeit kann unmöglich 18,85 cm hoch im ruhenden (!) Glas stehen, wenn sie bei der Rotation nur 4 cm hoch ist.

Zitat:

31,42=12,57*h | -12,57


Denkst du wirklich, dass du die 12,57 durch Subtraktion von dem h gelöst bekommst? verwirrt
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Argh,

mein Hirn macht Aussetzer. Hammer

31,42=12,57*h | /12,57
h=2,5cm
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nun ist es richtig. Freude
Trox Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen, vielen dank für deine Hilfe und vorallem, vielen dank für deine Geduld. smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile

Wink
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