Taylor entwickeln von 1/(3-2x)...

09.02.2007, 13:43	djzottel	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor entwickeln von 1/(3-2x)... Tach auch, brauchen mal wieder eure Hilfe. Die Aufgabe lautete: Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \setminus \{ \frac{3}{2}\} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{(3-2x)} \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} x_{0} = 1 \end{eqnarray}$ . Wir sind dann nach der Differentiation und dem Einsetzen von $\begin{eqnarray} x_o \end{eqnarray}$ auf die Werte: 1, 2, 8, 48, 384, 3840 .... gekommen. Scheint ja offensichtlich, dass da irgenwas mit 2n und ner Fakultät drin steckt, doch irgendwie stehen wir hier auf dem Schlauch. herzlichen Dank im Vorraus Sandy und Tobi
09.02.2007, 14:30	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor entwickeln von 1/(3-2x)... Was sucht ihr denn jetzt eigentlich? $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{(3-2x)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=(-1)\cdot \frac{1}{(3-2x)^2}\cdot (-2) =\frac{2}{(3-2x)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=(-2) \cdot \frac{2}{(3-2x)^3} \cdot (-2) = \frac{8}{(3-2x)^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) =(-3) \cdot \frac{8}{(3-2x)^4} \cdot (-2) = \frac{48}{(3-2x)^4} \end{eqnarray}$ ... Daraus bastelt ihr mal eine Formel und beweist die mit vollständiger Induktion.
09.02.2007, 14:31	Hanker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor entwickeln von 1/(3-2x)... Rechne doch mal ein paar Ableitungen aus. Dann siehst Du spätestens bei der 4. wie der Hase läuft. Du kannst dann die allgemeine Formel $\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) \end{eqnarray}$ durch eine aalglatte Induktion beweisen.

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