Abbildung, Vektor, Skalarprodukt

18.11.2012, 13:40

<x>

Abbildung, Vektor, Skalarprodukt

Meine Frage:

An folgender Aufgabe scheiter ich:
Gegeben sein eine Abbildung f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} -> \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ und es gilt

a) f(ax+by) = a*f(x)+ b*f(x) für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ und alle a,b $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} | | f(x) | | \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} | | x | | \end{eqnarray*}$ für alle x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ ,

zu zeigen: dann gilt auch
<f(x),f(y)> = <x,y>
für alle x,y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

also ich kenn mich mit dem Thema noch nicht wirklich aus und versteh vieles nicht, aber hier mal meine Gedanken:

b) bedeutet ja nichts anders als:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{f(x_{1} )^{2}+...+ f(x_{n}^{2} ) } = \sqrt{x_{1} ^{2}+...+ x_{n}^{2} } \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} f(x_{1} )^{2}+...+ f(x_{n}^{2} ) = x_{1} ^{2}+...+ x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$

statt <f(x),f(y)> = <x,y> kann ich schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}) * f(y_{1})+...+f(x_{n}) * f(y_{n}) = x_{1} * y_{1}+...+x_{n} * y_{n} \end{eqnarray*}$

Leider fällt mir absolut nicht ein, was ich tun muss und wäre sehr dankbar über Hinweise, Tipps, Verbesserungen, etc.

18.11.2012, 14:54

Leopold

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Gehe nicht auf die Definition des Skalarproduktes zurück. Das ist gar nicht nötig. Zum Beweis reichen die Bedingungen a) und b). Mache dir zuerst klar, daß die Bedingung in b) zu

b') $\begin{eqnarray*} \left \langle f(x),f(x) \right \rangle = \left \langle x,x \right \rangle \end{eqnarray*}$

äquivalent ist. Wende dann b') auf den Vektor $\begin{eqnarray*} x+y \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y),f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y,x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

Jetzt beachte die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also die Regel a), die Eigenschaften eines Skalarprodukts ("ausmultiplizieren") und mehrmals b').

18.11.2012, 15:14

<x>

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hm, also verstehen tu ichs nicht wirklich. Ehrlich gesagt, ist mir der Begriff Linearität immer noch ein Rätsel.. verwirrt

aber ich versuch jetzt einfach mal a) auf $\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y),f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y,x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$ anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x)+f(y),f(x)+f(y) \right \rangle = \left \langle x+y,x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt totaler SChwachsinn, oder hab ichs richtig gemacht? Ich weiß nur nicht, was es da denn zum ausmultiplizieren gibt

19.11.2012, 08:02

Leopold

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Du hast richtig umgeformt. Du hast dabei die Linearität der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ verwendet, also Bedingung a), und zwar speziell mit $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt verwende die Bilinearität des Skalarprodukts. Schau in deinen Unterlagen nach, was das bedeutet. In der klassischen Vektorgeometrie schreibt man das (Standard-)Skalarprodukt statt mit eckigen Klammern mit einem Malpunkt, also

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \vec{y} \ \ \text{statt} \ \ \langle x,y \rangle \end{eqnarray*}$

So kennst du das vielleicht noch aus der Schule. Und die Bilinearität bringt nichts anderes zum Ausdruck, als daß man "wie gewohnt" rechnen darf. Genauer: Man darf beim Skalarprodukt distributiv rechnen, also ausmultiplizieren, solange die Produkte immer genau zwei Faktoren enthalten.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \left( \vec{y} + \vec{z} \right) \ \ \text{entspricht} \ \ \left \langle x \, , \, y+z \right \rangle \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt links ausmultiplizierst, was erhältst du dann? Und wie sähe diese Regel dann in der Schreibweise mit den spitzen Klammern aus?

19.11.2012, 08:43

<x>

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$\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \left( \vec{y} + \vec{z} \right) = \vec{x} *\vec{y} + \vec{x} * \vec{z} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \left \langle x \, , \, y+z \right \rangle = <x,y> + <x,z> \end{eqnarray*}$
meintest du das?

Wäre dann
$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x)+f(y),f(x)+f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$ nicht vielleicht:
$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x)+f(y),f(x) \right \rangle + \left \langle f(x)+f(y),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$

20.11.2012, 17:56

Leopold

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Das ist richtig. Aber bleib nicht dabei stehen. Du kannst jedes der beiden erhaltenen Skalarprodukte weiter "ausmultiplizieren". Ganz so wie in der Zahlenalgebra:

$\begin{eqnarray*} \left( a+b \right) \cdot \left( u+v \right) = \left( a+b \right) \cdot u + \left( a+b \right) \cdot v = au + bu + av + bv \end{eqnarray*}$

Und beachte anschließend die Bedingung b).

20.11.2012, 19:09

<x>

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Also:
$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x)+f(y),f(x) \right \rangle + \left \langle f(x)+f(y),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left \langle f(x),f(x) \right \rangle + \left \langle f(y),f(x) \right \rangle + \left \langle f(x),f(y) \right \rangle + \left \langle f(y),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left \langle f(x),f(x) \right \rangle + 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle + \left \langle f(y),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left \langle x+y,x\right \rangle + \left \langle x+y,y\right \rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left \langle x,x\right \rangle + 2 \left \langle x,y\right \rangle +\left \langle y,y\right \rangle \end{eqnarray*}$

ich hab mirs noch mal angeschaut und müsst nicht:
$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x),f(x) \right \rangle + 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle + \left \langle f(y),f(y) \right \rangle = | | f(x) + f(y)| |^{2} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \left \langle x,x\right \rangle + 2 \left \langle x,y\right \rangle +\left \langle y,y\right \rangle = | | x+y | |^{2} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} | | f(x) + f(y)| |^{2} = | | x+y | |^{2} \end{eqnarray*}$

21.11.2012, 08:26

Leopold

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Terme sind nur Zahlenwerte, keine Aussagen. Daher ist es nicht sinnvoll, logische Pfeile dazwischen zu schreiben. Was soll denn z.B.

$\begin{eqnarray*} 3+2 \ \Rightarrow 4+1 \end{eqnarray*}$

besagen? "Aus 3 plus 2 folgt 4 plus 1"?

Dagegen sind Gleichungen Aussagen. Und du darfst ja von der wahren Aussage

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y) \, , \, f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y \, , \, x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

ausgehen (siehe meinen ersten Beitrag). Jetzt beide (!) Seiten umformen, wie du es in deinem letzten Beitrag ausgeführt hast. Nur der letzte Schritt ist nicht zielführend. Er bringt dich ja wieder zurück, wovon du ursprünglich ausgegangen warst. Du mußt aber vorwärts gehen. Verwende b) zweimal.

21.11.2012, 13:19

<x>

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Ich versuchs nochmal:

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x),f(x) \right \rangle + 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle + \left \langle f(y),f(y) \right \rangle = | | f(x) | |^{2} + | | f(y) | |^{2} + 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$
nach Voraussetzung b gilt:
$\begin{eqnarray*} | | f(x) | |^{2} + | | f(y) | |^{2} + 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle = | | x | |^{2} + | | y | |^{2}+ 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$
Geht das auch wenn ich hoch 2 habe? Eigentlich müsste es ja egal sein, da ich genauso $\begin{eqnarray*} | | x | | *| | x | | \end{eqnarray*}$ schreiben könnte. Was mach ich jetzt aber mit $\begin{eqnarray*} 2\left \langle f(x),f(y) \right \rangle \end{eqnarray*}$

21.11.2012, 13:54

Leopold

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Du formst nur die linke Seite der Startgleichung

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y) \, , \, f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y \, , \, x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

um, aber nicht die rechte. Deswegen siehst du nicht, worauf es hinausläuft.

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y) \, , \, f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y \, , \, x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \left \langle f(x) + f(y) \, , \, f(x) + f(y) \right \rangle = \text{und rechts?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \left \langle f(x) \, , \, f(x) \right \rangle + \left \langle f(y) \, , \, f(y) \right \rangle + 2 \left \langle f(x) \, , \, f(y) \right \rangle = \text{und rechts?} \end{eqnarray*}$

Verwende, ich habe es bereits mehrmals gesagt, danach b) zweimal.

21.11.2012, 14:04

<x>

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Also irgendwie fehlt mir der Durchblick Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x+y) \, , \, f(x+y) \right \rangle = \left \langle x+y \, , \, x+y \right \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \left \langle f(x) + f(y) \, , \, f(x) + f(y) \right \rangle = \left \langle x,x\right \rangle + 2 \left \langle x,y\right \rangle +\left \langle y,y\right \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \left \langle f(x) \, , \, f(x) \right \rangle + \left \langle f(y) \, , \, f(y) \right \rangle + 2 \left \langle f(x) \, , \, f(y) \right \rangle = \left \langle x,x\right \rangle + 2 \left \langle x,y\right \rangle +\left \langle y,y\right \rangle \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so? Dann müsste ich jetzt doch b verwenden oder?

21.11.2012, 14:40

Leopold

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Ja. Jetzt verwende b) bzw. b') aus meinem ersten Beitrag.

21.11.2012, 19:57

<x>

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Puh, dann wäre das ja einfach
aus b´) folgt
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ \left \langle x \, , \, x \right \rangle + \left \langle y \, , \, y\right \rangle + 2 \left \langle f(x)\, , \, f(y) \right \rangle = \left \langle x,x\right \rangle + 2 \left \langle x,y\right \rangle +\left \langle y,y\right \rangle \end{eqnarray*}$
also bleibt
$\begin{eqnarray*} \left \langle f(x) \, , \, f(y) \right \rangle = \left \langle x,y\right \rangle \end{eqnarray*}$ q.e.d.
Ist das wirklich so einfach oder habe ich dann noch was übersehen?? Dann wär der Beweis im Nachhinein ja gar nicht mal schwer gewesen.. Augenzwinkern

21.11.2012, 20:25

Leopold

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Zitat:

Original von <x>
... im Nachhinein ...

Eben.

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