Beweis einer Cauchyfolge

18.11.2012, 14:10	ABCDEFGH	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Cauchyfolge Meine Frage: $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ sei eine Folge, so dass ein $\begin{eqnarray} A>0 \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} B\in (0,1) \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} \| x_{n+1} - x_{n} \| \leq AB^{n} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ ist eine Cauchyfolge Meine Ideen: Definition einer Cauchyfolge: Für jedes $\begin{eqnarray} E > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} m,n > N \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \| x_{n}- x_{m} \| < E \end{eqnarray}$ . Mit E meine ich natürlich Epsilon... Eigentlich kann ich ja dann einfach $\begin{eqnarray} AB^{n} \end{eqnarray}$ als mein Epsilon definieren und muss nur noch zeigen, dass Epsilon beliebig klein sein kann und $\begin{eqnarray} > 0 \end{eqnarray}$ ,oder? $\begin{eqnarray} AB^{n} > 0 \end{eqnarray}$ ist ja offentlichsichtig, da $\begin{eqnarray} A, B, n >0 \end{eqnarray}$ . Und da $\begin{eqnarray} B\in (0,1) \end{eqnarray}$ wird $\begin{eqnarray} AB^{n} \end{eqnarray}$ ja mit jedem n kleiner. Aber reicht das schon aus? Wäre sehr dankbar über Verbesserungen, Kritik und Tipps...

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