Zeigen, dass Teilmenge des R^2 Vektorraum ist

18.11.2012, 14:31

stulle

Zeigen, dass Teilmenge des R^2 Vektorraum ist

Hallo,

ich habe die folgende Aufgabe:

welche der folgenden Teilmengen des R^2 sind Vektorräume:

a) $\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb R ^{2} | x=y\} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R; c \in \mathbb R* \text{beliebig, aber fest} \{(x,y) \in \mathbb R ^{2} | ax+by=c\} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \{(x,y) \in \mathbb R ^{2} | 2x^{2} +y^{2}=4\} \end{eqnarray*}$

Dass ich die Eigenschaften eines Vektorraums (Nullelement etc.) überprüfen muss, weiß ich .. aber ich weiß nicht, wie ich anfangen muss unglücklich

Vllt kann mir jmd Starthilfe geben!? smile

Edit(Helferlein): Mengenklammern eingefügt.

18.11.2012, 16:53

weisbrot

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RE: Zeigen, dass Teilmenge des R^2 Vektorraum ist
mhh, vielleicht, ... einfach nachprüfen!?! also z.b. haben die mengen ein neutr. element? der nicht?
lg

18.11.2012, 17:27

stulle

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ja, ich sag ich ja, die Eigenschaften, welche nachzuprüfen sind, weiß ich ja Augenzwinkern

aber ich weiß nicht, wie man das angeht ..

18.11.2012, 17:44

stulle

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kann keiner einen Ansatz geben? unglücklich

18.11.2012, 18:24

stulle

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schade, dass man hier keine Hilfe bekommt ..

18.11.2012, 20:14

Alive-and-well

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welche Eigenschaften sidn das denn die du nachprüfen musst?

Du kannst die ja mal zunächst an Beispielen klarmachen wie die Vektoren genau aussehen und dann im allgemeinen zeigen ob ein Unterraum vorliegt oder eben nicht.

19.11.2012, 09:14

stulle

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wir müssen die Vektorraumaxiome überprüfen ...
die a hab ich inzwischen hinbekommen, aber bei denen, die ich noch angegeben habe und weitere, die hier nicht stehen, komm ich wieder nicht weiter.

Ich hab z. B. die Menge $\begin{eqnarray*} {(x,y)\in \mathbb R ^{2} | xy=0} \end{eqnarray*}$ .. mir ist klar, dass dann entweder x oder y oder beide 0 sein müssen, damit sie die Eigenschaft xy=0 erfüllen .. aber wie zeige ich jetzt ob es ein Vektorraum ist oder nicht?

$\begin{eqnarray*} ((k_{1}k_{2})(x,y)=(k_{1}k_{2}x,k_{1}k_{2}y)=k_{1}((k_{2}x),(k_{2}y)=k_{1}(k_{2}(x,y)) \end{eqnarray*}$

wäre das schon mal richtig für eines der Axiome? Wie arbeite ich dann aber mit xy=0? Das muss ja auch beachtet werden ...

19.11.2012, 09:28

Mulder

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Zitat:

Original von stulle
Ich hab z. B. die Menge $\begin{eqnarray*} {(x,y)\in \mathbb R ^{2} | xy=0} \end{eqnarray*}$ .. mir ist klar, dass dann entweder x oder y oder beide 0 sein müssen, damit sie die Eigenschaft xy=0 erfüllen .. aber wie zeige ich jetzt ob es ein Vektorraum ist oder nicht?

Man sollte als allererstes einfach mal hinsehen und schauen, ob man auf Anhieb eine Vermutung aufstellen kann, ob irgendeine Eigenschaft nicht gilt. Wenn einem partout nichts einfällt, dann rechnet man sie halt durch.

Bei diesem Beispiel: Wie sieht es denn aus mit Abgeschlossenheit bezüglich Addition?

Edit: Übrigens finde ich es reichlich unhöflich, nach wenigen Stunden schon rumzumeckern, dass man hier "keine Hilfe bekommen würde". Hier sitzen keine Antwortmaschinen, die nur darauf warten, endlich deine Fragen beantworten zu dürfen. Das machen hier alle in ihrer Freizeit. Ein bisschen Geduld deinerseits sollte also eigentlich eine Selbstverständlichkeit sein.

19.11.2012, 09:37

stulle

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Wie muss ich mir denn die Menge überhaupt vorstellen? soll heißen, was muss ich tun, um zu zeigen, dass sie abgeschlossen ist (oder auch nicht) bzgl. der Addition`? Ich hab leider so recht keine Vorstellung davon, wie diese Menge aussieht ..

19.11.2012, 09:40

Mulder

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Zitat:

Original von stulle
Wie muss ich mir denn die Menge überhaupt vorstellen?

Vorstellen musst du dir die Vektorräume überhaupt nicht. Im Allgemeinen ist das gar nicht möglich und bringt dich der Lösung auch nicht näher. Manchmal kriegst du so abstruse Mengen vorgeknallt, dass man sich das kaum anschaulich machen kann.

Hier sind wir im R², da geht das natürlich noch. Du hast doch selbst gesagt, dass x oder y gleich null sein müssen. Zeichnest du dir ein karthesisches Koordinatensystem, so bilden alle Punkte, die auf den Koordinatenachsen liegen, diese Menge.

19.11.2012, 09:51

stulle

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Also, wenn ich zwei Vektoren unter den gegebenen Voraussetzungen addiere, wird das Ganze nur dann wieder 0, wenn man z. B. zwei Vektoren mit x1=x2=...=0 oder dasselbe für y1=y2=...=0 hat .. ansonsten führt die Addition aus der Menge heraus .. soll heißen: es muss entweder x oder y immer 0 sein .. wäre das richtig?

19.11.2012, 10:01

Mulder

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Gib doch einfach zwei ganz konkrete Elemente aus der Menge an, bei denen es nicht hinhaut, wenn du die Summe bildest. Ganz simpel.

19.11.2012, 10:06

stulle

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Wenn ich dieses Beispiel bringe, bin ich dann mit der Aufgabe durch? Weil ich dann eben zeige, dass es nicht abgeschlossen und somit kein Vektorraum?

Zwei Elemente wären (1,0) und (2,1) zum Beispiel ..

19.11.2012, 10:08

Mulder

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Zitat:

Original von stulle
Wenn ich dieses Beispiel bringe, bin ich dann mit der Aufgabe durch? Weil ich dann eben zeige, dass es nicht abgeschlossen und somit kein Vektorraum?

Natürlich. Ein Gegenbeispiel reicht doch. Was willst du noch mehr?

Zitat:

Original von stulle
Zwei Elemente wären (1,0) und (2,1) zum Beispiel ..

Das hingegen ist ja nun wieder Unsinn. (2,1) liegt selbst doch schon gar nicht in dieser Menge.

19.11.2012, 10:14

stulle

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Huch, ich wollte eig. (0,1) schreiben .. danke erst mal!

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