Grenzwert bestimmen

18.11.2012, 15:11

akinup

Grenzwert bestimmen

Meine Aufgabe ist den Grenzwert von folgenden Funktionen zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} a) \lim_{x \to 1} (\frac{x^4-1}{x-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b)\lim_{x \to -3} (\frac{x^2-x-12}{x+3} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c)\lim_{x \to \infty } (\frac{x^3-2x+3}{x^2+1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d)\lim_{x \to 0}( \frac{\sqrt{1+x} -1}{x} ) \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist mein Problem das man gefühlt für jede Grenzwert bestimmung ein anderen Weg finden kann.... =/

also ich habe jetzt mal im Internet mir ein paar sachen raus gesucht und da haben welche mit hilfe von ableitung oder zerteilen der brüche die grenzwerte berechnet... wenn ich das jetzt zum beispiel bei

1) mache... kommt bei mir der grenzwert 4 raus... aber stimmt das?

bei 2) würde ich auf -7 als grenzwert kommen

3)würde ich sagen unendlich weil bei x->unendlich betrachtet man ja nur die höhsten potenzen und dann steht oben ja immer was höhere als unten

4)brauche ich ein tipp =/

wäre toll wenn jemand zeit finden würde mir zu sagen was falsch ist oder wie ich da am besten ran gehe kann =)

18.11.2012, 15:17

Mulder

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RE: Grenzwert bestimmen
a) und b) stimmen. Geht gut über Polynomdivision. L'Hospital geht aber auch.

c) stimmt auch, man kann ja in Zähler und Nenner x² ausklammern und dann kürzen.

d) kannst du als Differentialquotienten dieser Wurzelfunktion an der Stelle x=0 interpretieren.

18.11.2012, 15:35

akinup

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öhm irgendwie kann ich mit Differentialquotienten nichts so wriklich anfangen...

könntest du mir irgendwie ein anderen tipp geben? oder vielleicht den ansatz der lösung...?

18.11.2012, 15:39

Mulder

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Zitat:

Original von akinup
öhm irgendwie kann ich mit Differentialquotienten nichts so wriklich anfangen...

Da du bereits von Ableitungen gesprochen hast, scheint mir das sehr bedenklich zu sein. Arbeitest du mit Abeitungen, ohne überhaupt zu wissen, was das ist?

Zitat:

Original von akinup
könntest du mir irgendwie ein anderen tipp geben?

Naja, L'Hospital geht auch, sofern bekannt. Aber im Prinzip kann man alle vier Aufgaben mit L'Hospital lösen und das scheint mir dann doch etwas sinnlos zu sein. Von daher vermute ich ja eher, dass man hier eben ohne L'Hospital arbeiten soll. Wissen kann ich das aber natürlich nicht.

18.11.2012, 15:43

akinup

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=// tut mir leid weiß wirklich nicht was das heißt und L'Hospital habe ich auch noch nie gehört =/

mit den ableitungen habe icha uch nicht gearbeitet... habe nur darüber im inet gelesen

wäre trotzdem toll wenn mir irgendwer helfen könnte vielleicht gibt es ja auch einen weg den ich verstehe ^,^

18.11.2012, 15:45

Mulder

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Also sind Ableitungen überhaupt nicht bekannt?

Na gut, dann erweitere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{1+x}+1) \end{eqnarray*}$

18.11.2012, 16:00

akinup

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sieht er dann erweitert so aus:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{(\sqrt{1+x}-1)*(\sqrt{1+x}+1) }{x*(\sqrt{1+x}+1)} <br /> \end{eqnarray*}$
?

dann würde ja oben nur noch x stehen oder?

aber was kommt unten raus?
$\begin{eqnarray*} <br /> x*\sqrt{1+x} +x<br /> \end{eqnarray*}$
?

18.11.2012, 16:02

Mulder

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Naja, siehst du bei

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} \end{eqnarray*}$

denn keine Möglichkeit, etwas zu kürzen?

18.11.2012, 16:06

akinup

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ahhhhhhhhhsooooo ops ^^ sry das war schlecht von mir ^^

also dann bleibt da nur noch stehen 1 durch wurzel(1+x) +1 ?

und dann darf ich sagen das x gegen 0 geht und wurzel aus 1= 1 und damit ist der grenzwert

1/2?

18.11.2012, 16:06

Mulder

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Genau.

18.11.2012, 22:26

Jello Biafra

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Zitat:

Original von akinup
..und dann darf ich sagen das x gegen 0 geht und wurzel aus 1= 1 und damit ist der grenzwert 1/2?

Der Grenzwert stimmt - aber die Argumentation kannst Du so nur via Stetigkeit der Wurzel führen.

Alternativ kann abgeschätzt werden:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac x2\geq\sqrt{1+x}\geq\frac{2+2x}{2+x} \end{eqnarray*}$

und dann folgt alles per Grenzwertsätzen und Einschließungskriterium.

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