zyklische Gruppe

18.11.2012, 15:29

tcp

zyklische Gruppe

Hi Leute, ich hätte mal wieder eine Frage :-)

Diesmal dreht es sich um zyklische Gruppen. Ich hänge bei einer Aufgabe in der ich Äquivalenz zeigen soll, allerdings verstehe ich es nicht wirklich und komme nicht weiter.

Sei G Gruppe mit x Elementen, n ist neutral.

(1) G ist zyklisch
(2) Es existiert ein g € G mit $\begin{eqnarray*} g^{m} =! n \end{eqnarray*}$ , für 0 < m < x

Die zweite Behauptung macht mir zu schaffen, bzw weiss ich nicht was man damit anfangen soll. Ich habe überlegt wenn ich mir $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z, 0, +) \end{eqnarray*}$ anschaue ist es doch klar das ich zB von 5 nicht auf 0 kommen kann wenn m nicht 0 sein darf?

Muss ich mir jetzt evtl nur $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{n} \end{eqnarray*}$ , n>1 anschauen? Und wie gehe ich da vor falls das der richtige Weg ist? Für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{prim} \end{eqnarray*}$ könnte (?) ich per kleiner Satz von Fermat zeigen das p-1 immer kongruent 1 ist und nicht 0.

Vielen Dank für eure Hilfe.

18.11.2012, 16:45

RavenOnJ

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was gilt denn in einer zyklischen Gruppe der Ordnung x für $\begin{align*} g^x \end{align*}$ ?

18.11.2012, 16:52

tcp

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Zitat:

Original von RavenOnJ
was gilt denn in einer zyklischen Gruppe der Ordnung x für $\begin{align*} g^x \end{align*}$ ?

Hi Raven, ich glaube da liegt das Problem, ich habe keine Ahnung was du mit Ordnung x meinst, in der VL wurde das nicht behandelt.

18.11.2012, 17:42

RavenOnJ

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das ist aber ein wesentlicher Begriff der Gruppentheorie (du kannst auch mal wikipedia bemühen).

Die "Ordnung" hat im Zusammenhang mit Gruppen zwei Bedeutungen. Einmal spricht man von der "Ordnung eines Elements", das ist die minimale Zahl, mit der man das Element potenzieren muss, um auf das neutrale Element zu kommen.

Dann gibt es aber auch noch die "Ordnung der Gruppe", das ist einfach die Zahl der Gruppenelemente (für endliche Gruppen).

Zwischen den beiden Begriffen gibt es einen engen Zusammenhang, deswegen hat man wohl aufgrund von Faulheit denselben Begriff zweimal verwendet (aber vielleicht wurden auch zuerst zyklische Gruppen betrachtet, bei denen $\begin{align*} g^x = n \end{align*}$ für alle Gruppenelemente gilt mit x als der Ordnung der Gruppe [ so, jetzt hab ich's verraten Augenzwinkern

]. Woraus aber nicht folgt, dass die Ordnung jedes Elements gleich x ist, dies ist nur bei bestimmten zyklischen Gruppen der Fall!).

Gruß
Peter

18.11.2012, 18:42

tcp

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Ich habe jetzt mal bisschen gegooglet.

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ also haben wir die Elemente <0,1,2> (mod 3).
Dies würde der Gruppenordnung 3 entsprechen?

Wenn ich jetzt gucke wie oft ich welches Element mit sich selber verknüpfen muss um auf 0 zu kommen, dann wäre das doch bei dem erzeugenden Element (ich nehme mal 1) 1^3. Also kann man sagen das das erzeugende Gruppenelement die gleiche (Element)Ordnung hat wie die Gruppenordnung?
Wenn ich das mit der Ordnung richtig verstehe.

Wenn jetzt die Gruppenordnung x ist hat das erzeugende Element auch Ordnung x? Also kann ich mit dem erzeugenden Element nicht das neutrale Element erreichen wenn ich es lt. Vorraussetzung maximal x-1 Mal selbst verknüfen kann.

Hoffe das ist jetzt nicht zu heftig falsch :-D Trotzdem schonmal danke für deine Hilfe

18.11.2012, 23:16

RavenOnJ

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Da hast du dir leider einen der Spezialfälle rausgesucht, nämlich eine zyklische Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist. In dem Fall ist die Ordnung von jedem Element (außer n) gleich der Mächtigkeit der Gruppe, also ihrer Ordnung. Nimm statt dessen mal $\begin{align*} \mathbb{Z}_4 \end{align*}$ , da haben die $\begin{align*} \overline 1 \end{align*}$ und die $\begin{align*} \overline 3 \end{align*}$ die Ordnung 4, aber die $\begin{align*} \overline 2 \end{align*}$ hat die Ordnung 2! Generell gilt bei endlicher Ordnung der Gruppe: Die Ordnung eines Elements muss die Ordnung der Gruppe teilen. Daraus folgt natürlich das, was ich vorher über Gruppen mit primer Ordnung geschrieben habe.

Zitat:

Also kann ich mit dem erzeugenden Element nicht das neutrale Element erreichen wenn ich es lt. Vorraussetzung maximal x-1 Mal selbst verknüfen kann.

Genau, darauf wollte ich hinaus. Aber das ist erst der Anfang. Es ist ja in 2) nur nach der Existenz eines solchen Elements gefragt. Nur als Anmerkung: 2) ist schlecht formuliert. Es müsste heißen:
$\begin{eqnarray*} 2)\;\; \exists g\in G ,\forall m\text{ mit }0<m<x :g^m \neq n\;\; \end{eqnarray*}$

Alle zyklischen Gruppen sind abelsch. Deshalb betrachte ich mal als Gegenbeispiel eine nicht-abelsche Gruppe, z.B. die symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ , die Permutationen einer 3-elementigen Menge. Sie hat die Ordnung 6. Es gibt die 3 Transpositionen (1,2), (2,3) und (1,3), jeweils mit Ordnung 2, dann die zwei zyklischen Vertauschungen (1,2,3) und (1,3,2), jeweils mit Ordnung 3. Du kannst an diesem Beispiel sehen, dass diese Gruppe kein Element hat, das für alle $\begin{align*} \;\; 0<m<6 \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} g^m \neq n \end{align*}$ erfüllt. Die Aussage 2) gilt also in diesem Fall nicht.

Überleg mal, was 2) über die Erzeugung der Gruppe aussagt.

Gruß
Peter

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