Umkehrfunktion nicht bestimmbar + Beweis

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09.02.2007, 14:04	Pi-tsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion nicht bestimmbar + Beweis Hallo zusammen, Habe hier eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^5 + x \end{eqnarray}$ , von der ich die Umkehrfunktion bestimmen soll, bzw. angeben, ob es eine gibt. Ich weiß, dass f(x) umkehrbar ist, da f(x) für alle x streng monoton steigt (erste Ableitung $\begin{eqnarray} f'(x) = 5x^4 + 1 \end{eqnarray}$ ) Nun meine Frage: Kann man den Term der Umkehrfunktion angeben/bestimmen? Mein Lehrer konnte mir darauf keine tolle Anwort geben, sie lautete einfach: "Nein, man kann die Gleichung nicht nach x auflösen - es gibt eine Umkehrfunktion, jedoch kann man deren Term nicht angeben/bestimmen." Ich bin damit irgendwie nicht zufrieden. 1) Gibt die Mathematik etwas her, um dies zu bewerkstelligen? Ich hatte jedoch spontan die Idee f(x) abzuleiten, davon die Umkehrfunktion zu bestimmen und dann diese zu integrieren, also praktisch um die Ecke drauf zu kommen. Mein Lehrer schmetterte dies ab: "Nein, dies ist nicht zulässig - außer für einige Sonderfälle!" Hier schließt meine zweite Frage auch direkt an: 2) Kann man allgemein beweisen, dass obige beschriebene Methode nicht gilt? Vielen Dank für eure Anregungen im Voraus!
09.02.2007, 14:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion nicht bestimmbar + Beweis $\begin{eqnarray} f(x) = x^5 + x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) =5 x^4 + 1 > 0 ~\quad \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Definitionsmenge: $\begin{eqnarray} D_f = \mathbb R \end{eqnarray}$ Die Funktion ist streng monoton steigend. Weiter ist: $\begin{eqnarray} lim_{x \to -\infty} ~x^5 + x = - \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} lim_{x \to +\infty} ~x^5 + x = + \infty \end{eqnarray}$ So dass für ihre Wertemenge gilt : $\begin{eqnarray} W_f= \mathbb R \end{eqnarray}$ Daher ist die Funktion surjektiv und injektiv. Insgesamt bijektiv und besitzt somit eine Umkehrfunktion. Um nun diese zu bestimmen, müsste man ja $\begin{eqnarray} y = x^5-x \end{eqnarray}$ nach x auflösen. Das wäre Äquivalent zur Bestimung der Nullstellen von $\begin{eqnarray} 0 = x^5-x-y \end{eqnarray}$ Dafür gibt es aber keine Lösungsformeln mehr. Siehe hier
09.02.2007, 14:43	Pi-tsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für deine differenzierte Antwort - diese Dinge sind mir klar. Danke für den Link - damit ist nun meine erste Frage befriedigt. Und zu dem Beweis? Habt ihr da eine Anregung für mich wie ich da vorgehen kann?
09.02.2007, 15:03	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Gegenbeispiel. $\begin{eqnarray} f(x) = x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_f = \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W_f = \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'^{-1}(x) = \frac{1}{2}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^x~ \frac{1}{2}t ~dt = [\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}t^2]_0^x = \frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$
09.02.2007, 15:07	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau Dir mal das da und das an. @tigerbine, ich denke gemeint ist sowas: $\begin{eqnarray} f(x)=y=x^2;f'(x)=2x=2\sqrt{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\int \frac{\mathrm dy}{2\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{eqnarray}$ Diese Idee (@threadstarter) ist zwar gut, aber sie funktioniert nicht, weil man allgemein die Umkehrfunktion schon kennen muss, aber korrekt wäre sie .
09.02.2007, 15:11	Pi-tsch	Auf diesen Beitrag antworten »
@tigerbine: Schön, für f(x) = x² klappts ja. Ist es denn möglich für die Fälle, wo es nicht klappt, allgemein zu zeigen, warum? Wenn ja, wie setzt man da an?
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09.02.2007, 15:16	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Worauf beziehst Du Dich? Allgemein: $\begin{eqnarray} f'^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray}$ . Da ist eben das Problem, Du musst die Umkehrfunktion schon kennen...
09.02.2007, 15:20	Pi-tsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau darauf beziehe ich mich. Haben die Fälle, wo es nicht gilt, etwas gemeinsam, womit man hier ansetzen kann? Oder kann man dies nicht allgmein zeigen
09.02.2007, 15:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso klappt das für f(x)=x²? Da kommt doch am Ende nicht die Wurzelfunktion raus?
09.02.2007, 15:23	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Was Deine Idee betrifft, so gilt diese für jede erdenkliche differenzierbare Funktion, nur kann man sie eben nicht anwenden. Dummerweise wirst Du ja auf der Suche nach einer Umkehrfunktion diese nicht schon kennen. EDIT: @tigerbine, ich denke gemeint ist sowas: $\begin{eqnarray} f(x)=y=x^2;f'(x)=2x=2\sqrt{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\int \frac{\mathrm dy}{2\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{eqnarray}$ => Da hatte ich doch selbst einen Doppelpost
09.02.2007, 15:54	Pi-tsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... ich vermute es ist irgendwie so anzusetzen, dass man zeige, dass die Umkehrfunktion von f'(x) nicht gleich der abgeleiteten "normalen" Umkehrfunktion.
09.02.2007, 16:28	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst Du (mit geeignetem Variablentausch) nicht widerlegen, weil es eben stimmt. Das ist ja gerade der Satz zur Ableitung der Umkehrfunktion: Sei $\begin{eqnarray} f(x):=y \end{eqnarray}$ bijektiv und $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=x \end{eqnarray}$ die Umkehrfunktion von f. Sowohl f als auch f' seien diff.bar: Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} f'^{-1}(y)=f'^{-1}(f(x))\cdot f'(x)=1 \end{eqnarray}$ Es folgt: $\begin{eqnarray} f'^{-1}(y) =\frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray}$ Nur lässt sich damit nur die Ableitung einer Funktion finden, deren Umkehrfunktionsableitung schon bekannt ist, umgekehrt geht da aber nichts...

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