Fourierreihe, Zusammenhang

18.11.2012, 16:59

bloodybeginner

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Fourierreihe, Zusammenhang

Wir beschäftigen uns gerade mit FourierTransformation usw.. Folgende Funktion ist gegeben

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = x + \pi, \text{falls} -\pi < x < o<br /> 0, \text{sonst} \end{eqnarray*}$

Und die Aufgabe ist es diese Summe zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} \end{eqnarray*}$

ich sehe hier nicht genau die Verbindung zu TF? Kann mir jemand einen Anfangstipp geben?

19.11.2012, 08:42

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Das ist in der Tat merkwürdig, denn bei einem solchen einzelnen Sägezahn kommt diese Formel nicht heraus. Anders wäre es bei einem einzelnen Dreieck, aber dann müßte f(x) von 0 bis pi wieder entsprechend runtergehen. Hast Du diese Zeile vielleicht vergessen?

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 09:34

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
AH stimmt! Die zeile habe ich zufällig weggelassen. Also wie muss ich hier rangehen für den Anfang?

19.11.2012, 09:57

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Du hast jetzt eine gerade Funktion, die Du mit der entsprechenden Fourierformel transformieren kannst. Wenn Du das hast, setze mal x=0.

Viele Grüße
Steffen

20.11.2012, 13:09

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Also in der aufgabe ist gegeben, dass f(x) = 0, für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \pi \end{eqnarray*}$

Ist das was du mit der sägezahn funktion meintest? Weil die Funktion geht ja so nicht runter :S, sonder bleibt für den zweiten Intervall 0

20.11.2012, 13:41

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Teil a war, man soll den komplexen Fourierkoeffizienten berechnen. hier habe ich als ergebnis:

$\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{1}{k^{2} } - \frac{1}{k^{2} } e^{ik\pi } + \frac{i\pi }{k} \end{eqnarray*}$

Also ist meine Fourierreihe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{-\infty }^{\infty } (\frac{1}{k^{2} } - \frac{1}{k^{2} } e^{ik\pi } + \frac{i\pi }{k} )e^{ikx} \end{eqnarray*}$

und jettt soll ich mein x gleich 0 setzen??

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20.11.2012, 13:48

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Dann habe ich einfach nur:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty } \frac{1}{k^{2} }- \frac{1}{k^{2} } e^{ik\pi } + \frac{i\pi }{k} = \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty } \frac{1-e^{ik\pi } + i\pi }{k^{2}} \end{eqnarray*}$

und dann??

20.11.2012, 14:09

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Nach dem Gleichheitszeichen hast Du ein k unterschlagen, aber schauen wir uns mal den Term davor an.

Der Realteil von ck sind ja die Cosinusanteile, der Imaginärteil die Sinusanteile. Für x=0 werden letztere alle zu Null, weil sin(0)=0.

Die Cosinusanteile dagegen werden mit cos(0)=1 multipliziert. Nun schau Dir mal besonders dieses $\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} \end{eqnarray*}$ an und lass k mal loslaufen. Was fällt Dir auf?

Viele Grüße
Steffen

21.11.2012, 12:57

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Hmmmm.. ich bin sehr schlecht darin, dass mir mal was auffällt unglücklich

unglücklich

.. Also bei der Funktion $\begin{eqnarray*} e^{ik\pi} \end{eqnarray*}$ haben wir ja einen imaginären und reelen teil, welche jeweils periodische Funktionen sind zwischen -1.. 1 ???

21.11.2012, 13:18

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang

Zitat:

Original von bloodybeginner
bei der Funktion $\begin{eqnarray*} e^{ik\pi} \end{eqnarray*}$ haben wir ja einen imaginären und reelen teil, welche jeweils periodische Funktionen sind zwischen -1.. 1 ???

Ich nehme an, Du meinst das richtige. Für ungerade k ergibt sich -1, für gerade k ergibt sich 1. Was geschieht dann also mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{2} }- \frac{1}{k^{2} } e^{ik\pi } \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

21.11.2012, 13:30

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Wie hast du das denn rechnerisch nachgewiesen für k gerade und ungerade?

Also für k gerade eliminieren sich die beiden, für k ungerade haben wir dann ein vorzeichenwechsel des zweiten terms?
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(2n-1)^2} \end{eqnarray*}$

21.11.2012, 14:09

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang

Zitat:

Original von bloodybeginner
Wie hast du das denn rechnerisch nachgewiesen für k gerade und ungerade?

Das sieht man doch. Ein Einheitszeiger mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} k \cdot \pi \end{eqnarray*}$ hat schließlich keine Chance, andere Werte als -1 oder 1 anzunehmen. Gut, Du kannst es auch über die trigonometrische Form zeigen, die Imaginärteile sind für diese Werte immer Null, weil der Sinus da Null ist, und der Realteil wackelt wie der Cosinus zwischen -1 und 1.

Zitat:

Original von bloodybeginner
Also für k gerade eliminieren sich die beiden, für k ungerade haben wir dann ein vorzeichenwechsel des zweiten terms?
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(2n-1)^2} \end{eqnarray*}$

Ja. Genauso kommst Du eben auf die unendliche Summe.

Viele Grüße
Steffen

21.11.2012, 16:13

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Wie hast du das denn rechnerisch nachgewiesen für k gerade und ungerade?

Zitat:

Das sieht man doch. Ein Einheitszeiger mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} k \cdot \pi \end{eqnarray*}$ hat schließlich keine Chance, andere Werte als -1 oder 1 anzunehmen. Gut, Du kannst es auch über die trigonometrische Form zeigen, die Imaginärteile sind für diese Werte immer Null, weil der Sinus da Null ist, und der Realteil wackelt wie der Cosinus zwischen -1 und 1.

Ich bin hier ein wenig verwirrt, kannst du mir das vllt aufschreiben rechenmäßig, das was man direkt sieht``?? Also ich meine mir ist bewusst, das k - pi nur zwischen -1 und 1 liegen kann, aber die schritte die danach passieren sind mir nicht klar. dass dann der komplette e term -1 und 1 wird und sowas...

Und der wert der gegebenen summe ist dann ungefähr meinem f(x) oder? also so ist es ddoch bei der fourierreihe definiert?

21.11.2012, 16:45

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang

Zitat:

Original von bloodybeginner
dass dann der komplette e term -1 und 1 wird und sowas...

$\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} = cos k \pi + i sin k \pi \end{eqnarray*}$

Und jetzt weißt Du doch bestimmt, was sin und cos so mit Vielfachen von pi anstellen.

Zitat:

Original von bloodybeginner
Und der wert der gegebenen summe ist dann ungefähr meinem f(x) oder?

Ja, genauer Deinem f(0) (zusammen mit einem Faktor), denn Du hast ja x=0 gesetzt.

Viele Grüße
Steffen

21.11.2012, 16:46

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
aaaahhh !!! ICh bin ein Idiot!! Jetzt hab ichss endlich danke!!!

22.11.2012, 13:54

bloodybeginner

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang
Ich habe hierzu noch eine frage (falls du diese noch siehst).

Was geschieht eigentlich mit dem Term: $\begin{eqnarray*} \frac{i\pi}{k} \end{eqnarray*}$ in der summe? auf wenn k ungerade ist faellt dieses doch nicht weg??

22.11.2012, 14:23

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihe, Zusammenhang

Zitat:

Original von bloodybeginner
Ich habe hierzu noch eine frage (falls du diese noch siehst).

Keine Angst. Ich bekomme eine Nachricht, wenn sich was in meinen Threads tut.

Zitat:

Original von bloodybeginner
Was geschieht eigentlich mit dem Term: $\begin{eqnarray*} \frac{i\pi}{k} \end{eqnarray*}$ in der summe? auf wenn k ungerade ist faellt dieses doch nicht weg??

Wenn k gerade ist, auch nicht. Aber, wie geschrieben, ist das ja der Imaginäranteil von ck, denn ck=ak+ibk. So wie die Realteile ak zu den Cosinusgliedern der Fourierreihe gehören, werden die bk mit den Sinusgliedern multipliziert. Da wir uns aber nur mit der Reihe für x=0 (dem Gleichanteil also) beschäftigen, sind diese alle Null (sin0=0), auch wenn die bk es nicht sind.

Das war es auch, was mich anfangs irritiert hat. Bei der schönen geraden Dreiecksfunktion wäre dieser Imaginärteil gar nicht erst aufgetreten, und nur die Summenformel wäre herausgekommen.

Viele Grüße
Steffen

22.11.2012, 14:38

bloodybeginner

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Ahh oke jetzt verstehe ich es einigermassen denke ich....
Nur noch eine Frage, du hast ck = ak + ibk geschrieben, gilt das immer so? Weil wir haben in unseren Notizen eine Fallunterscheidung gemacht fuer k groesser oder kleiner 0, und da haben wir noch den termn 1/2 davor stehen, und wenn n > 0 ist haben wir $\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{a_{k}-ib_{k}}{2} \end{eqnarray*}$ stehen. Ist das das gleiche und haengt nur von der schriftweise und den konstanten ab??

22.11.2012, 15:04

Steffen Bühler

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Du hast recht, den Faktor 0,5 hab ich unterschlagen. Die ak und bk gelten definitionsgemäß nur für positive Frequenzen von Null bis Unendlich, während die ck auch die "negativen" Frequenzen berücksichtigen, da geht die Formel dann von minus bis plus Unendlich. Dadurch entsteht der Faktor.

Viele Grüße
Steffen

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