Zeigen, dass Funktion Kontraktion ist?

18.11.2012, 17:32

bloodybeginner

Zeigen, dass Funktion Kontraktion ist?

Gegeben ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}ln(x) + x - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass diese Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R : 1 \leq x\right\} \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion ist.

Soweit ich das verstanden habe, muss die Funktion erst als Fixpunktgleichung aufgeschrieben werden, also dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g(x ): x = 2 - \frac{1}{3}ln(x) \end{eqnarray*}$

Eine Kontraktion ist ja folgend definiert:

$\begin{eqnarray*} d(f(x), f(y)) \leq \lambda d(x,y) \end{eqnarray*}$ wobei das lambda zwischen 0 und 1 liegt.

Ist dies das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y)|| = \lambda | | x-y | | \end{eqnarray*}$

Aber ich komme nicht so genau weiter:

$\begin{eqnarray*} || 2 - \frac{1}{3}ln(x) - 2 + \frac{1}{3}ln(y) || = || \frac{1}{3}ln(y) - \frac{1}{3}ln(x) || \leq \pi || x-y || \end{eqnarray*}$

Oke, und was nun??

19.11.2012, 01:30

Mathewolf

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Schreib bitte erst einmal die Aufgabe nieder, damit wir wissen, was überhaupt gegeben ist und was gesucht.

Zitat:

Gegeben ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}ln(x) + x - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Diest ist keine Funktion, sondern eine Gleichung.

Zitat:

Soweit ich das verstanden habe, muss die Funktion erst als Fixpunktgleichung aufgeschrieben werden, also dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x \end{eqnarray*}$ :

Eine Funktion f wird nicht als (Fixpunkt-)Gleichung aufgeschrieben, sondern mit der Fixpunktgleichung der Funktion f werden die Fixpunkte x_n von f bestimmt.

Zitat:

Eine Kontraktion ist ja folgend definiert:

$\begin{eqnarray*} d(f(x), f(y)) \leq \lambda d(x,y) \end{eqnarray*}$ wobei das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 1 liegt.
Ist dies das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y)|| = \lambda | | x-y | | \end{eqnarray*}$

Nein, ist es nicht.

$\begin{eqnarray*} d(f(x), f(y)) \leq \lambda d(x,y) \end{eqnarray*}$

ist das selbe wie

$\begin{eqnarray*} \|f(x) - f(y)\| \leq \lambda \|x-y\| \end{eqnarray*}$ ,

wenn man die euklidische Metrik zugrundelegt.

Was bedeutet denn diese Ungleichung geometrisch? Und inwiefern helfen dir denn die Fixpunkte bei dem Beweis weiter?

19.11.2012, 09:42

bloodybeginner

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Wie ist denn mein $\begin{eqnarray*} d(f(x), f(y)) \end{eqnarray*}$ sonst definiert? Wie soll ich wissen wie ich das aufteilen bzw. definieren kann?? In der Aufgabe ist nichts mehr angegeben, wir beschäftigen uns gerade aber mit FourierTransformationen und alles drumherum.

Die Fixpunkte für den Beweis....eeeeee benutze ich dann nicht für die Formel, nicht mein angegebenes f(x) sonder die nach x umgestellte Form? also : $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3}ln(x) - 2 \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 09:44

bloodybeginner

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Und geometrisch, ja ich denke mal, dass für ein festes $\begin{eqnarray*} \lambda, \lambda < 1 \end{eqnarray*}$ die Distanz zwischen den Punkten x und y immer größer oder gleich der Distanz der gegebenen Funktion an der Stelle x und y ??

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