Ordnungsteilbarkeit von Gruppen

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charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsteilbarkeit von Gruppen
Guten Abend smile

Also ich sitze nun seit gestern an dieser Aufgabe, aber jeden Ansatz den ich verfolge scheint in einer Sackgasse zu enden...

Hier einmal die Aufgabenstellung:

Seien Gruppen und ein Gruppenhomomorphismus. Weiterhin sei
ein Element endlicher Ordnung.
Zeigen Sie, dass die Ordnung von ein Teiler der Ordnung von ist.

Mein Ansatz basiert auf dem Satz von Lagrange, ich habe mir zu dem die Definitionen von Gruppen, Untergruppen, Untergruppenkriterium und Gruppenhomomorphismen mehrfach durchgelesen und rumprobiert, aber es erschließt sich kein vernünftiger Weg, weil ständig eine Bedingung fehlt. Z.B. setzt der Satz von Lagrange voraus, dass gilt, wovon ich ja nicht ausgehen kann oder durch andere Definitionen darauf schließen kann (Oder ich übersehe es...)

Ein weiterer Ansatz war die Teilbarkeit anders zu beweisen, und zwar ist ja die Problemfrage, dass ich zeigen muss:

teilt

Ich habe versucht, den Satz von Lagrange anzuwenden, und zwar:
teilt , da
und
teilt , da

Aber daraus kann man nicht folgern, dass dann auch die Problemfrage gilt.

Mir fehlt einfach ein fundamentaler Zusammenhang... ich übersehe irgendeine Definition oder Assoziation zwischen Aussagen der Sätze... Hat mir jemand einen Rat?

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe smile

Grüße, Chris
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

wesentlich ist, dass f ein Gruppenhomomorphismus ist. Überleg dir, was daraus folgt. Was wäre denn, wenn Ord(f(g)) nicht Teiler von Ord(g) wäre?
 
 
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo RavenOnJ, danke für deine Antwort

Leider sehe ich es nicht... aus dem Gruppenhomomorphismus geht nur hervor, dass gelten muss:

(die Gruppenoperationen sind jedoch nicht gegeben, ich weiß nicht einmal, ob ich das so schreiben darf)

wenn kein Teiler von wäre, dann würde das bedeuten:
(nach Lagrange)

Ich sehe keinen Zusammenhang, oder was ich aus diesen Aussagen schließen könnte... Ein Widerspruchbeweis, dass z.B. kein Homomorphismus sei, wäre denkbar, aber ich komm zu keinem Punkt an dem die Annahme bestätigt wäre...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis: Sei . Bestimme . (das bezeichne die m-fache Verknüpfung von g mit sich selbst)
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Unterstützung Math1986
Das müsste sein...:

Ich seh nur leider nicht worauf das hinaus laufen soll... Ich habe es auch schon in die Gruppenhomomorphismus-Bedingung eingesetzt, aber auch da komme ich auf nichts sinnvolles (vielmehr: etwas was mir sinnvoll erscheint)
Keine Definition hilft mir grad weiter, es scheint als ob mir immer ein Puzzlestück fehlt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Teil der Gleichung stimmt schonmal.

Mach dir klar, dass Folgendes gilt:

und überlege, was sich daraus für die gesuchte ordnung ergibt.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube jetzt was gemeint ist...

Für m = 2 (als Beispiel) krieg ich ja:
, was die Definition für den Gruppenhomomorphismus wäre (zumindest teilweise...)

Nur kann ich das sagen? Dass das der Gruppenhomomorphismus ist?
Ich habe dann ja nur ein Element , und nicht und
Oder kann ich sagen:

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was mit m=2 gilt, gilt auch allgemein, also

Nach dem, was du gesagt hast, gilt

Also insgesamt

Was folgt daraus für
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Kann das sein?



mit


Dann ist teilbar durch
Ich seh sonst echt nicht mehr und bin mir dabei auch nicht sicher, zumal die Teilbarkeit dann nur durch das neutrale Element bewiesen wird, aber nicht
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta
Kann das sein?



mit
Wie ist die Ordnung des neutralen Elementes definiert? verwirrt
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich!
Kann ja nur =1 sein...
D.h. ord(f(g))=1, 1 teilt 1(=ord(g)), fertig?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wie kommst du denn nun auf ?
Das ist dann der Fall, wenn , das stimmt doch nicht unglücklich
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe macht mir echt schwer zu schaffen...
Ich denk besser nochmal gründlich drüber nach
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit steht eigendlich schon alles da, du musst das nur noch in Zusammenhang mit der Ordnung bringen.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe. Es tut mir leid, dass ich dafür grad so wenig Verständnis aufbringe, ich übersehe einfach grad was ganz wichtiges :/

Aber ich verstehe jetzt warum nicht sein kann, entschuldige, das hab ich grad echt nicht gesehen.

Des weiteren ist mir aufgefallen, dass mein Schluss falsch ist, dass gilt:

Aber wenn die Gleichung gilt, dann muss ja sein..., denn , und nur dann sicher gelten kann
Wenn das stimmt, dann kann man daraus folgern, dass

Nur dann fehlt mir noch die Begründung warum gilt, denn für mich sieht das grad eher nach einer Einschränkung aus, als nach einer Allgemeingültigkeit

Edit: Ich glaub grad ist mir die Begründung gekommen: Die Gleichung gilt, weil ein Gruppenhomomorphismus ist.

Wenn das alles stimmt, dann wäre das doch jetzt die Lösung...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta

... , dann muss ja sein...,


das gilt bestimmt nicht, wenn G ungleich H.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von charlydelta

... , dann muss ja sein...,


das gilt bestimmt nicht, wenn G ungleich H.


Hmm... Ich finde nur keinen Fehler in meinem Rechenweg...
Hier mal mein Gedankengang:

Wenn ich sage:
, mit
;
gilt ja nach Definition nur dann, wenn m die Ordnung von g ist. Und wenn
, mit , dann steht da:
, m ist jedoch immernoch definiert als , woraus folgt, dass sein muss.

Und in der Aufgabenstellung steht nirgends, dass G ungleich H sein muss... Ich komm nur darauf weil es mir scheint als ob kein anderer Schluss möglich ist :S
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta




Dies muss wegen der Eigenschaft "Gruppenhomomorphismus von f" gelten. Aber warum daraus folgt, dass , ist noch nicht mathematisch klar formuliert. Obwohl ich denke, dass dir das jetzt "irgendwie" klar ist.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von charlydelta
Hmm... Ich finde nur keinen Fehler in meinem Rechenweg...


Das ist kein Fehler in deinem Rechenweg, du musst auf die Definition von f gucken.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich jetzt erst richtig gelesen und zeigt mir, dass du es doch noch nicht verstanden hast.

Zitat:
Original von charlydelta

Hier mal mein Gedankengang:

Wenn ich sage:
, mit
;
gilt ja nach Definition nur dann, wenn m die Ordnung von g ist. Und wenn
, mit , dann steht da:
, m ist jedoch immernoch definiert als ,



bis hierhin richtig, aber was jetzt kommt, ist eine falsche Schlussfolgerung

Zitat:

... woraus folgt, dass sein muss.



Nein

Zitat:

Und in der Aufgabenstellung steht nirgends, dass G ungleich H sein muss... Ich komm nur darauf weil es mir scheint als ob kein anderer Schluss möglich ist :S


Nein, das steht nirgends, trotzdem gilt die Behauptung auch für .
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, ich verstehe warum das nicht sein kann und warum trotzdem gilt... Klar... Die Gruppenhomomorphismusdefinition...
Ich versteh grad selbst nicht warum mir die Aufgabe so schwer fällt -.-
Ich arbeite jetzt mal mit dem was ich weiß weiter (Nochmal vielen Dank für eure Hilfe)
Wenn ich neue Ergebnisse habe melde ich mich wieder.
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war diese Woche leider krank, weswegen ich nicht wie erhofft weiter daran arbeiten konnte... Bin seit gestern wieder dran, aber ich komm echt nicht drauf.

Warum aus folgt, dass gilt:
will mir einfach nicht einleuchten.

Ich finde keine Definition die darauf schließen lässt... Ich weiß, dass es echt nicht schwer ist, und ich fühl mich grad wie jemand der beim Memory ein Pärchen aufdeckt und es nicht schnallt Forum Kloppe

verwirrt

Edit: latex korrigiert
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zeige ich es dir:

Sei


Dies muss ganz allgemein gelten, egal ob oder .

Jetzt gilt ja



Da die kleinste Zahl k > 0 ist, für die gilt, folgt, dass n =0 und damit .

Gruß
Peter
charlydelta Auf diesen Beitrag antworten »

Hey RavenOnJ,

vielen Dank für deine Antwort.
Ja, jetzt dämmerts... Darauf wäre ich so schnell nicht gekommen...
Vielen vielen Dank smile
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