Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 |
18.11.2012, 18:24 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Hallo, ich soll zeigen, dass wenn |G|=105 ist, die Gruppe genau eine 5- oder genau eine 7-Sylowgruppe hat. Leider stehe ich hier total auf dem Schlauch. Meine Ideen: Ich wollte eigentlich zeigen, dass wenn es kein 5-Sylowgruppe gibt, folgt, dass es eine 7-Sylowgruppe geben muss aber wie mach ich das und wie zeige ich die Eindeutigkeit? |
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18.11.2012, 18:37 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ok, gehen wir also vom Gegenteil aus: Wenn es mehr als eine 5-Sylowgruppe und mehr als eine 7-Sylowgruppe gibt, wieviele gäbe es dann von jeder Sorte? |
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18.11.2012, 18:53 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Naja, die Anzahl der Sylowgruppen ist kongruent 1mod p. Also wenn es nicht jeweils eine ist, gäbe es mind 6 5-Sylowgruppen und 8 7-Sylowgruppen. |
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18.11.2012, 18:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Hm, aber da gibt es ja noch eine weitere wichtige Bedingung, welche sich auf den Index der Sylowgruppe bezieht... Warum lässt du diese weg? |
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18.11.2012, 19:02 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Achso, die Anzahl der Sylowgruppen teilt den Index: Also gäbe es 21 5-Sylowgruppen und 15 7-Sylowgruppen. |
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18.11.2012, 19:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ok, dann nun die Elferfrage: Wieviele und welche Elemente haben zwei verschiedene Untergruppen der gleichen Primzahlordnung p gemeinsam? |
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18.11.2012, 19:29 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Da fällt mir nur ein, dass der Schnitt zweier p-Gruppen wieder eine p-Gruppe ist. |
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18.11.2012, 19:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ja, aber das ist hier zu schwach... Du sollesst auch wissen, dass der Durchschnitt zweier Untergruppen immer auch Untergruppe ist... Was folgt daraus? |
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18.11.2012, 19:43 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Kann es sein, dass die sich alle trivial schneiden? |
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18.11.2012, 19:47 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Das kann durchaus sein, aber es fehlt mir hier noch eine schlüssige Begründung von deiner Seite... |
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18.11.2012, 20:03 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Also ich nehme mir zwei verschiedene 5-Sylowgruppen A und B. Ich weiß, Da die Ordnung des Produktes eine nat Zahl ist, kann der Schnitt nur 1 oder 5 Elemente haben, bei 5 Elemeten wäre A=B, das haben wir ausgeschlossen, also ist der Schnitt trivial. |
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18.11.2012, 20:05 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Im Nenner steht natürlich die Ordnung des Schnittes... |
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18.11.2012, 20:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Das stimmt zwar, aber wenn du immer so kompliziert argumentierst, wirst du nicht sehr weit kommen... Besser wäre zusagen, dass der Durchschnitt als Untergruppe der beiden Gruppen von Primzahlordnung p nur die Ordnung 1 oder p haben kann... In letzterem Fall würden aber die beiden Untergruppen mit dem Durchschnitt und damit auch untereinander übereinstimmen, entgegen der Voraussetzung... Wieviel Elemente enthalten daher alle 21 5-Sylowgruppen zusammengenommen? |
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18.11.2012, 20:19 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ich habe 21 Gruppen mit je 5 Elementen, das macht erstmal 105, da ich aber das Einselement in jeder Gruppe habe, macht das 85. |
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18.11.2012, 20:22 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ok, wieviel Elemente ergeben die 15 7-Sylowgruppen nach dem gleichen Argument zusammengenommen? |
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18.11.2012, 20:29 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 91 Elemente |
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18.11.2012, 20:31 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Und jetzt alle zusammengenommen, also die 21 5-Sylowgruppen und die 15 7-Sylowgruppen? |
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18.11.2012, 20:33 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Also du meinst 85+91=176? Aber woher weiß ich dass die sich trivial schneiden? |
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18.11.2012, 20:36 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ist natürlich klar falsch, und zwar warum?
5-Sylowgruppen enthalten - mit Ausnahme von e - nur Elemente der Ordnung 5... Analoges gilt für 7-Sylowgruppen... Also mach dir deinen Reim darauf... |
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18.11.2012, 20:39 | Julia1921 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ok also erstmal sinds 175dann hast dur recht die elemnte in den 5-Gruppen können nicht in den 7-Gruppen sein, weil Elementordnung teil Gruppenordnung. Dann habe ich mehr Elemente als die Ordnung von G ist. Und damit einen Widerspruch und den Beweis... OK ich denke das müsst es sein... Stand ganz schön auf der Leitung... Danke! |
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18.11.2012, 20:59 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105 Ok, fassen wir zusammen: Anzahl der 3-Sylowgruppen: 1 oder 7 (Elemente darin max. 14) Anzahl der 5-Sylowgruppen: 1 oder 21 (Elemente darin max. 84) Anzahl der 7-Sylowgruppen: 1 oder 15 (Elemente darin max. 90) Was trifft somit zu? Oder anders gefragt: Welche Kombinationen kommen letztendlich in Frage? |
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