Sylow-Gruppen von G mit |G|=105

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Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Meine Frage:
Hallo, ich soll zeigen, dass wenn |G|=105 ist, die Gruppe genau eine 5- oder genau eine 7-Sylowgruppe hat. Leider stehe ich hier total auf dem Schlauch.

Meine Ideen:
Ich wollte eigentlich zeigen, dass wenn es kein 5-Sylowgruppe gibt, folgt, dass es eine 7-Sylowgruppe geben muss aber wie mach ich das und wie zeige ich die Eindeutigkeit?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ok, gehen wir also vom Gegenteil aus: Wenn es mehr als eine 5-Sylowgruppe und mehr als eine 7-Sylowgruppe gibt, wieviele gäbe es dann von jeder Sorte?
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Naja, die Anzahl der Sylowgruppen ist kongruent 1mod p. Also wenn es nicht jeweils eine ist, gäbe es mind 6 5-Sylowgruppen und 8 7-Sylowgruppen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Hm, aber da gibt es ja noch eine weitere wichtige Bedingung, welche sich auf den Index der Sylowgruppe bezieht... Warum lässt du diese weg? verwirrt
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Achso, die Anzahl der Sylowgruppen teilt den Index: Also gäbe es 21 5-Sylowgruppen und 15 7-Sylowgruppen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ok, dann nun die Elferfrage: Wieviele und welche Elemente haben zwei verschiedene Untergruppen der gleichen Primzahlordnung p gemeinsam?
 
 
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Da fällt mir nur ein, dass der Schnitt zweier p-Gruppen wieder eine p-Gruppe ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ja, aber das ist hier zu schwach... Du sollesst auch wissen, dass der Durchschnitt zweier Untergruppen immer auch Untergruppe ist... Was folgt daraus?
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Kann es sein, dass die sich alle trivial schneiden?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Das kann durchaus sein, aber es fehlt mir hier noch eine schlüssige Begründung von deiner Seite...
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Also ich nehme mir zwei verschiedene 5-Sylowgruppen A und B.
Ich weiß, Da die Ordnung des Produktes eine nat Zahl ist, kann der Schnitt nur 1 oder 5 Elemente haben, bei 5 Elemeten wäre A=B, das haben wir ausgeschlossen, also ist der Schnitt trivial.
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Im Nenner steht natürlich die Ordnung des Schnittes...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Das stimmt zwar, aber wenn du immer so kompliziert argumentierst, wirst du nicht sehr weit kommen... unglücklich

Besser wäre zusagen, dass der Durchschnitt als Untergruppe der beiden Gruppen von Primzahlordnung p nur die Ordnung 1 oder p haben kann... In letzterem Fall würden aber die beiden Untergruppen mit dem Durchschnitt und damit auch untereinander übereinstimmen, entgegen der Voraussetzung...

Wieviel Elemente enthalten daher alle 21 5-Sylowgruppen zusammengenommen?
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ich habe 21 Gruppen mit je 5 Elementen, das macht erstmal 105, da ich aber das Einselement in jeder Gruppe habe, macht das 85.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ok, wieviel Elemente ergeben die 15 7-Sylowgruppen nach dem gleichen Argument zusammengenommen?
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
91 Elemente
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Und jetzt alle zusammengenommen, also die 21 5-Sylowgruppen und die 15 7-Sylowgruppen?
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Also du meinst 85+91=176? Aber woher weiß ich dass die sich trivial schneiden?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Zitat:
Original von Julia1921
Also du meinst 85+91=176?

Ist natürlich klar falsch, und zwar warum? unglücklich

Zitat:
Original von Julia1921
Aber woher weiß ich dass die sich trivial schneiden?

5-Sylowgruppen enthalten - mit Ausnahme von e - nur Elemente der Ordnung 5... Analoges gilt für 7-Sylowgruppen... Also mach dir deinen Reim darauf... Big Laugh
Julia1921 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ok also erstmal sinds 175dann hast dur recht die elemnte in den 5-Gruppen können nicht in den 7-Gruppen sein, weil Elementordnung teil Gruppenordnung. Dann habe ich mehr Elemente als die Ordnung von G ist. Und damit einen Widerspruch und den Beweis... OK ich denke das müsst es sein... Stand ganz schön auf der Leitung... Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sylow-Gruppen von G mit |G|=105
Ok, fassen wir zusammen:

Anzahl der 3-Sylowgruppen: 1 oder 7 (Elemente darin max. 14)
Anzahl der 5-Sylowgruppen: 1 oder 21 (Elemente darin max. 84)
Anzahl der 7-Sylowgruppen: 1 oder 15 (Elemente darin max. 90)

Was trifft somit zu? Oder anders gefragt: Welche Kombinationen kommen letztendlich in Frage?
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