Bakterienwachstum und Mutation

18.11.2012, 18:56

IchVerzweifle

Bakterienwachstum und Mutation

Meine Frage:
Es geht um Bakterienwachstum. Ein Stamm verdoppelt sich alle 20 Minuten
$\begin{eqnarray*} N_{0} = 1000000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n(t)= N_{0} \cdot 2^{t/20} \end{eqnarray*}$

Eine einzelnes Bakterium mutiert und reproduziert sich nach 15 Minuten
$\begin{eqnarray*} N_{0} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n(t)= N_{0} \cdot 2^{t/15} \end{eqnarray*}$

1) Wann wird das Bakterium den Ursprünglichen Stamm zahlenmäßig überholt haben?
2) Wie viele Bakterien sind es zu dieser Zeit?

Meine Ideen:
1) Beide Gleichungen gleichsetzen und nach t auflösen ... allerdings komme ich da auf keinen Grünen Zweig ...
2) Einsetzen für errechnetes t, das sollte kein Problem darstellen ;-)

18.11.2012, 19:21

gast18

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RE: Bakterienwachstum und Mutation
Meine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1000000*2^x = 1*2^{20x/15} \end{eqnarray*}$

x sind jeweils 20 Minuten.

18.11.2012, 19:25

Kasen75

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Hallo,

mein Vorschlag:

Ich würde mit der Gleichung für das diskrete, exponentielle Wachstum arbeiten:

$\begin{eqnarray*} N_t=N_0 \cdot x^t \end{eqnarray*}$

Hier würde t in Minuten rechnen.

Jetzt nach nach $\begin{eqnarray*} x^t \end{eqnarray*}$ umstellen.

$\begin{eqnarray*} \frac{N_t}{N_0}=x^t \end{eqnarray*}$

Für beide Fälle kannst du die Gleichung benutzen um jeweils x zu bestimmen. $\begin{eqnarray*} \frac{N_t}{N_0} \end{eqnarray*}$ ist in beiden Fällen für ein bestimmtes t im Prinzip schon angegeben:

1. Ein Stamm verdoppelt sich alle 20 Minuten

2. ... reproduziert sich nach 15 Minuten

Kannst du denn jetzt jeweils x bestimmen ?

Mit freundlichen Grüßen.

18.11.2012, 20:43

IchVerzweifle

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

mein Vorschlag:

Ich würde mit der Gleichung für das diskrete, exponentielle Wachstum arbeiten:

$\begin{eqnarray*} N_t=N_0 \cdot x^t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{N_t}{N_0}=x^t \end{eqnarray*}$

Welchen Wert hat N_t denn? Stehe ich auf dem Schlauch? Und wieso sind die 15/20 min in den Gleichungen einfach vorerst zu vernachlässigen?

Grüße

18.11.2012, 20:50

Kasen75

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Im ersten Fall weiss man ja, was $\begin{eqnarray*} \frac{N_{20}}{N_0} \end{eqnarray*}$ ist.

Um welchen Faktor hat sich denn die Anzahl der Bakterien, nach 20 Minuten, vervielfacht?

Das Gleiche im Prinzip beim zweiten Fall: $\begin{eqnarray*} \frac{N_{15}}{N_0} \end{eqnarray*}$

Um welchen Faktor hat sich denn die Anzahl der Bakterien, nach 15 Minuten, vervielfacht?

Zitat:

Welchen Wert hat N_t denn? Stehe ich auf dem Schlauch? Und wieso sind die 15/20 min in den Gleichungen einfach vorerst zu vernachlässigen?

Die 15/20 min werden nicht vernachlässigt. Die muss man dann auch noch jeweils in die Gleichung einsetzen um x zu bestimmen.

18.11.2012, 21:09

IchVerzweifle

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Zitat:

Um welchen Faktor hat sich denn die Anzahl der Bakterien, nach 20 Minuten, vervielfacht?

2! Aber das besagte ja in meiner ursprünglichen Gleichung das 2^

Zitat:

Um welchen Faktor hat sich denn die Anzahl der Bakterien, nach 15 Minuten, vervielfacht?

Ebenso 2. Deswegen verstehe ich die Aufbröselung nicht, denn, dass eine Verdopplung stattfindet musste ich ja nicht erst berechnen, das ist gegeben.

Komisch, eigentlich hatte ich nie Probleme mit Aufgaben derlei Art...und so lange ist's bei mir auch noch nicht her ...

18.11.2012, 21:24

Kasen75

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Man muss ja den Wachstumsfaktor bestimmen. Jeweils für die beiden Fällen. So würde ich es jedenfalls machen. Deine Lösung kann ich nicht nachvollziehen. Du hast ja auch wenig dazugeschrieben. Sie ist, glaube ich, auch nicht richtig.

Gleichung für den ersten Fall:

$\begin{eqnarray*} 2=x^{15} \end{eqnarray*}$

Hier den Wachstumsfaktor bestimmen.

Zweiter Fall:

$\begin{eqnarray*} 2=x^{20} \end{eqnarray*}$

Hier ebenfalls den Wachstumsfaktor bestimmen.

19.11.2012, 01:01

opi

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Das Gleichsetzen der Funktionen sollte eigentlich genügen:

$\begin{eqnarray*} 10^6\cdot 2^{\frac{t}{20}} =1\cdot 2^{\frac{t}{15}} \end{eqnarray*}$

läßt sich durch Anwendung der Logarithmengesetze direkt nach t umstellen.
Der Beitrag von gast18 scheint nicht vom Fragesteller zu stammen (und ist falsch).

19.11.2012, 01:22

Kasen75

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@opi

Stimmt, da habe ich wohl zu kompliziert gedacht. Danke für den Hinweis.

Grüße.

19.11.2012, 06:48

gast19

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Das Ergebnis von gast 18 ist nicht falsch. Man muss das Ergebnis für x nur mit 20 multiplizieren. Er wurde gesagt, das x für 20 Minuten steht. (1x = 1 Zeitraum von 20 Minuten), wobei man 1x = 59,79 erhält.

59,79x = 1195,89 Minuten.

19.11.2012, 21:48

opi

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Huch! Bevor ich eine Gleichung für falsch erkläre, schaue ich sie mir sehr genau an. Hier habe ich aber anscheinend leider auch den Schmutz auf dem Bildschirm mitbetrachtet. verwirrt

@gast19: Du hast nicht nur einen ähnlichen Namen wie gast18, sondern befindest Dich auch in der selben Region. Zufälle gibt's... Augenzwinkern

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