Obere Asymptotische Dichte

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Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »
Obere Asymptotische Dichte
Meine Frage:
Hallo Leute,
ich stehte vor folgendem Problem. Erstmal die Definition der oberen Dichte:

Für eine Menge sei die Anzahl aller , wobei der Kreis um Null mit Radius r ist (also in ). Dann heißt
die obere Dichte.

Was ich zeigen will:

Ich möchte zeigen, dass

Meine Ideen:
Was ich versucht habe ist folgendes: Wenn endlich ist, dann existiert ja ein so, dass , da alle Zahlen "eingefangen" wurden. Daher gilt:



da immer gilt, dass . Also gibt ja schonmal meine Behauptung für .

Aber andersherum? Kann man die Behauptung nach unten durch 1 abschätzen? Gibts eine andere Möglichkeit?

PS: Mit sind natürlich die Anzahl der , die im Komplement liegen gemeint.

Ich danke schonmal für die Unterstützung hier.

Gruß

Niko
niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

keiner eine Idee?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obere Asymptotische Dichte
Zitat:
Original von Niko86

Was ich versucht habe ist folgendes: Wenn endlich ist, dann existiert ja ein so, dass , da alle Zahlen "eingefangen" wurden. Daher gilt:



da immer gilt, dass . Also gibt ja schonmal meine Behauptung für .


Warum so kompliziert? Betrachte doch , das ergibt doch gerade dein . Dabei soll sein.

Jetzt tritt nur noch ein Problem bei der Addition der beiden lim sup auf, denn es gilt ja



Analoges gilt für Funktionen.

Das eigentliche Problem sehe ich bei abzählbar unendlichen B.
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
erstmal danke für die Antwort. Wenn ich B gleich der Menge der natürlichen Zahlen setzte, dann ist doch B abzählbar unendlich!?! Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich meine Gleichheit zeigen kann, oder ist diese vielleicht falsch?

Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86
Wenn ich B gleich der Menge der natürlichen Zahlen setzte, dann ist doch B abzählbar unendlich!?!

Schon richtig, aber es gibt noch unendlich viele weitere abzählbare Teilmengen von

Zitat:
Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich meine Gleichheit zeigen kann, oder ist diese vielleicht falsch?


welche Gleichheit meinst du? ? Dazu hatte ich dir ja was geschrieben. Außerdem bildest du hier nur


Du musst also noch zeigen, dass gilt:



Dies ist nämlich nicht ohne weiteres klar, da eigentlich erst mal nur das gilt:



Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm? Du kennst den Unterschied zwischen lim und lim sup? Und dass im allgemeinen



gilt? Als kleines Beispiel:


Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Unterschied kenne ich :-)

Ich verstehe es auch noch nicht, was es mir bringt, B gleich der Menge der natürlichen Zahlen zu setzen. Deine Gleichung mit der Gaußklammer bringt mir ja nichts, wenn ich z.B. oder bleibt diese bestehen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte damit nur gemeint, dass du dir die Sache vereinfachen kannst, wenn du benutzt, dass gilt. Das war von mir etwas unglücklich formuliert.
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen es gilt



Dann ist ja

Also



Somit

mit Sandwich-Theorem

Andererseits gilt: Ist B endlich, dann ist N ohne B abzählbar unendlich und umgekert, soll heißen, dass entweder oder beschränkt ist. Daher folgt

,
was ja ganz oben gezeigt habe. Damit
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86
Angenommen es gilt



Dann ist ja

Also



Somit

mit Sandwich-Theorem



yep

Zitat:

Andererseits gilt: Ist B endlich, dann ist N ohne B abzählbar unendlich und umgekert, soll heißen, dass entweder oder beschränkt ist.



Aber wer sagt denn, dass B oder sein Komplement endlich sind? Es können beide abzählbar unendlich sein.

Zitat:

Daher folgt

,
was ja ganz oben gezeigt habe.



Wo hast du die letzte Ungleichung gezeigt? Belege das mal mit einem Selbstzitat, ich sehe es nicht.

Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich etwas schreibe, erstmal großen Dank für die Unterstützung.

Ich habe nicht bedacht, dass bei abzählbar unendlich seien können. Ich habe es nur gesagt, wenn einer der beiden Mengen, also B oder das Komplement bezüglich N, endlich sind. Dann geht nämlich ein limsup gegen und und den anderen kann man durch 1 abschätzen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86
Bevor ich etwas schreibe, erstmal großen Dank für die Unterstützung.


Bitte sehr smile . Mach ich gerne, wenn ich merke, dass der andere mitarbeitet.

Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich krieg die letzte Abschätzung nicht hin. Ziel ist es doch zu zeigen, dass



Oder gibts noch einen anderen Weg. Vielleich noch einen Tipp zum ausprobieren?

Gruß
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man dann mit ausdrücken? Dann könntest du überlegen, warum man in deinem Fall mit den Funktionen und doch schreiben kann

Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen,

das einzige, was man weiß ist doch, dass

.

Das bringt mir aber bei der Abschätzung leider nichts. Vielleicht gilt die Gleichheit bei der Limsup-Abschätzung, da alle Summanden positiv sind?

Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

zeige mal, dass gilt


Man kann dies aufspalten, indem man zeigt:

sowie



Dasselbe dann für .

Das bedeutet nämlich einerseits, dass


(und analoges für ), d.h. man überführt den lim sup für Funktionen in einen für Folgen über, die dann leichter zu behandeln sind.

Andererseits heißt das, dass und beides monoton fallende Folgen sind. Für monoton fallende Folgen gilt:



Mit zwei monoton fallenden Folgen folgt daraus:



Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

wieso braucht man ">" ? Wenn man das nicht braucht, dann würde ich wie folgt vorgehen:

Aus folgt

(Echt größer muss nicht sein, wenn z.B. r und n so gewählt, dann die Anzahl Null ist)

Damit (für


da

Daraus folgt die Montonie.

Wieso folgt daraus die Gleichheit



Kleinergleich okay, aber "="?

Der Rest geht dann so durch.

Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung zur allgemeinen Behandlung von . Es kommt für die Berechnung darauf an, ob und wenn ja, wie viele lokale Maxima (LMs) die Funktion hat. Es sei



die Menge der LMs von f(r).

Man muss drei Fälle unterscheiden:
A) die Funktion f(r) hat kein LM
B) die Funktion g(r) hat LMs und die Menge ist nach oben beschränkt
C) die Funktion h(r) hat LMs und ist nach oben unbeschränkt

Im Fall A) gibt es ein , d.h. es gibt ein ab dem die Funktion monoton steigt oder fällt. Daraus folgt in beiden Fällen



Im Fall B) gibt es ein maximales mit lokales Maximum, ab dem die Funktion monoton fällt oder ein , ab dem die Funktion monoton steigt. Also gilt für beide Fälle:



Fall C) ist der kritische Fall. Hier kann man nur den lim sup der Funktion in einen i.d.R einfacher zu behandelnden lim sup der Folge von LMs umwandeln:

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86


Wieso folgt daraus die Gleichheit




Schau mein voriges Post, Fall C). Das bedeutet, dass du in dem Fall ersetzen kannst:





Man bildet den lim sup über eine monoton fallende Folge, d.h. das Supremum ist immer gleich dem ersten Element der restlichen Teilfolge ab diesem Element. Daraus folgt, dass gilt



Edit: Letzteres gilt natürlich nur, weil die Folge konvergiert, d.h. weil
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Erklärung mit Limsup. So haben wir das nie gemacht. Kann man das nochmal in einem Analysisbuch nachschauen?

Ich würde jetzt so argumentieren:



wobei das letzte "=" gilt, da gezeigt wurde, dass


monoton fallend und nach unten beschränkt ist (daraus folgt Konvergenz und somit stimmen Grenzwert und Limsup überein)

Ist denn mein "Beweis" der Monotonie richtig?
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, wenns geht, vorherigen Eintrag löschen.
Danke für die ausführliche Erklärung mit Limsup. So haben wir das nie gemacht. Kann man das nochmal in einem Analysisbuch nachschauen?

Ich würde jetzt so argumentieren:



wobei das letzte "=" gilt, da gezeigt wurde, dass


monoton fallend und nach unten beschränkt ist (daraus folgt Konvergenz und somit stimmen Grenzwert und Limsup überein)

Ist denn mein "Beweis" der Monotonie richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest dich registrieren, dann könntest du deine Beiträge nachträglich bearbeiten.

Dein Beweis der Monotonie ist richtig smile .

Dass die Folge nach unten beschränkt ist, reicht nicht, es muss der lim inf der Funktion gleich dem lim sup sein! Der Grenzwert der betrachten Folge von lokalen Maxima kann ja gegen einen Wert konvergieren, obwohl die Funktion nicht konvergiert. Beispiel:



Offensichtlich ist die Folge der lokalen Maxima monoton fallend, aber die Funktion konvergiert nicht!

Über diese Zusammenhänge etwas zu finden, ist komischerweise schwierig. Mir fällt da gerade kein Buch ein. i.d.R. werden nur lim sup und lim inf von Folgen betrachtet (z.B. Forster oder Walter). Vielleicht weil die Unterschiede zu den Begriffen bei Folgen zu "trivial" sind. Man kann ja, wie ich schrieb, lim sup / lim inf von Funktionen auf lim sup / lim inf von Folgen zurückführen oder auf den Limes der Funktion.
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn
Zitat:



dann ist ja



und damit würde der Grenzwert ja auch exisitieren.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

genau smile . Das hast du aber noch nicht gezeigt, oder?
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Wundert mich, da es neben der oberen Dichte auch noch die untere gibt (also mit liminf). Und man definiert die Dichte dann darüber, wenn beide Grenzwerte existieren und gleich sind. Ich meine mich zu erinnern, dass in dem Buch stand, dass das i.d.R. nicht der Fall ist. Wir haben ja jetzt gezeigt, dass er immer existiert.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mir ein Lapsus unterlaufen bei dem Begriff "lokale Maxima", es muss natürlich "lokale Suprema heißen". Ich habe jetzt keine Zeit mehr, werde das später korrigieren.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss was korrigieren:

Zitat:
Original von RavenOnJ




So ist das leider falsch. Die Folge ist natürlich generell nicht monoton fallend!

Zitat:

Edit:Letzteres gilt natürlich nur, weil die Folge konvergiert, d.h. weil


Auch das ist echter Quatsch Hammer . Das war ein hastig nachgeschobenes Edit ohne genaues Nachdenken.

Ich meinte eigentlich folgendes: Wenn man den lim sup und den lim inf einer Folge betrachtet (und hier meinte ich die Folge der lokalen Maxima der Funktion, nicht die Folge ),
dann existiert der Limes der Folge genau dann, wenn



Bei monotonen, beschränkten Folgen ist dies offensichtlich der Fall.

Zu deinem Einwand der unterschiedlichen oberen und unteren Dichten:
Wenn man die Folge betrachtet und davon lim sup und lim inf bildet, so können die beiden allerdings verschieden sein, also für die obere und untere Dichte: . Bei wikipedia gibt es dafür ein gutes Beispiel.

Tut mir leid wegen der Verwirrung, das war meine temporär existierende Schlampigkeit Augenzwinkern .

Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin jetzt auch etwas irritiert...wo stehen wir eigentlich jetzt :-) ?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Vergessen wir denn ganzen "Mist" von bisher Augenzwinkern .

Ich habe noch mal gerechnet (ich rechne mal vor, da ich mich in einer Bringschuld dir gegenüber fühle, denn ich habe wohl ziemlich Verwirrung gestiftet):

Es gilt ja:


Also



Mit einer Nullfolge gilt:



Man kann also schreiben:



Nun gilt generell:



Alles zusammen ergibt:



oder



mehr nicht.

Ich habe in diesem Zusammenhang gefunden (wikipedia) (umgeschrieben mit deinen Bezeichnungen):

hat nur dann eine asymptotische Dichte , wenn . Einfach definiert durch

sowie:

Wenn für die Menge existiert, dann gilt für die komplementäre Menge bezüglich :

D.h. deine behauptete Beziehung zwischen und gilt nur, wenn die asymptotische Dichte existiert, d.h. sie gilt nur nur wenn



Dann würde nämlich in Gleichung (**) gelten:



Sind wir uns da einig?

Gruß
Peter
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, wir sind uns einig sind. Kurze Kommentare:

Zitat:

Mit einer Nullfolge gilt:




Es muss keine Nullfolge sein. Ich habe in meinem Ana 1 Skript etwas gefunden und es reicht aus, wenn einer der beiden Folgen konvergiert, dann wird aus der Ungleichung eine Gleichung.


Zitat:



mehr nicht.



Muss (zum Glück) feststellen, dass mir das auch reicht.

Letzte Frage: Ist es denn jetzt egal, dass wir n laufen lassen und nicht r aus den reellen Zahlen? Deine Rechnung beruht vom ersten Schritt an darauf, dass n aus den natürlichen Zahlen ist.

Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86

Letzte Frage: Ist es denn jetzt egal, dass wir n laufen lassen und nicht r aus den reellen Zahlen? Deine Rechnung beruht vom ersten Schritt an darauf, dass n aus den natürlichen Zahlen ist.


Ja, das reicht, da immer gilt (hattest du selber bewiesen)



weil also die Funktion majorisiert und für ganze n übereinstimmt.

Gruß
Peter
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Niko86
Zitat:

Mit einer Nullfolge gilt:




Es muss keine Nullfolge sein. Ich habe in meinem Ana 1 Skript etwas gefunden und es reicht aus, wenn einer der beiden Folgen konvergiert, dann wird aus der Ungleichung eine Gleichung.


Also



Ich nehme mal an, du meinst, wenn konvergiert. Wenn nur konvergiert, aber nicht, dann muss man schreiben



was wegen der Symmetrie klar ist.
Niko86 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

sorry, war die letzten Tage nicht zu Hause. Ja so meinte ich das!

Ich denke, wir haben meine Frage vollständig beantwortet.

Ging doch schneller als gedacht :-)

Vielen Dank nochmal, schönen Tag

Grüße

Niko
sabrina3 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ


Ja, das reicht, da immer gilt (hattest du selber bewiesen)



weil also die Funktion majorisiert und für ganze n übereinstimmt.

Gruß
Peter


Hi Leute,

ich bin zufällig auf diesen Thread gestoßen und stehe vor einem ähnlichen Problem ( ich beschäftige mich gerade mit Anzahlfunktionen komplexer Nullstellen). Ich habe hier soweit alles verstanden, außer den letzten Schritt mit dem "majorisieren". Wieso genau darf ich jetzt n anstatt r laufen lassen?

Gruß

sabrina
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

hi sabrina,

ist eine monoton steigende Treppenfunktion und kann sich nur für um 1 erhöhen, nämlich immer dann, wenn . Dann kommt sozusagen ein neuer Punkt aus B in dem Kreis dazu. Zwischen zwei natürlichen Zahlen bleibt konstant, so dass für der Quotient sinken muss. Also gilt immer

.

Es reicht also, den Verlauf der Funktion an den natürlichen Zahlen und damit den Limes Superior für den Laufindex aus den natürlichen Zahlen zu betrachten .
sabrina3 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnell Antwort. Ich habe versucht die Identität



direkt mit deiner Abschätzung zu zeigen. Wieso definiert man die (obere) Dichte nicht direkt mit Limsup auf den natürlichen Zahlen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir das hier anguckst, wird auch genau das gemacht. Warum das in der Aufgabe nicht gemacht wurde, weiß ich nicht. Vielleicht geht es auch um eine erweiterte Anwendung auf den rationalen und nicht nur auf den natürlichen Zahlen.
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