2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

18.11.2012, 21:46

Threadersteller

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2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Meine Frage:
Hallo, ich soll mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen, dass das gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n+1\choose k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab schon verschiedenes rumgerechnet aber das einzige worauf ich komme, ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n\choose k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

ich glaube mittlerweile schon fast, dass die Aufgabenstellung falsch ist weil ich hier einen anderen Thread gefunden habe,
der verlangt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n+1\choose 2k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$ gilt.
Darf leider den Link hier nicht posten...man findet den thread wenn man
das "archive/503601/thread" und das ".html" an die startseite dranhängt

Oder könnte es sein, dass beide Aussagen gelten?
Vielleicht war ja auch die andere Aufgabenstellung falsch.
Ich weiß einfach nicht weiter.

18.11.2012, 22:47

Jello Biafra

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RE: 2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Zitat:

Original von Threadersteller
Meine Ideen:
Ich hab schon verschiedenes rumgerechnet aber das einzige worauf ich komme, ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n\choose k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch!

Der binom. Lehrsatz liefert:

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Benutze nun die Symmetrie der Binomialkoeffizienten, d.h.:

$\begin{eqnarray*} {2n\choose k}={2n\choose 2n-k} \end{eqnarray*}$

um zunächst zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Und dann kannst Du den Rest mit

$\begin{eqnarray*} {2n\choose k-1}+{2n\choose k}={2n+1\choose k} \end{eqnarray*}$

besorgen.

18.11.2012, 22:58

Threadersteller

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RE: 2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Zitat:

Original von Jello Biafra

Zitat:

Original von Threadersteller
Meine Ideen:
Ich hab schon verschiedenes rumgerechnet aber das einzige worauf ich komme, ist

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n\choose k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch!

Der binom. Lehrsatz liefert:

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Aha also darf man es nicht einfach andersrum hinschreiben??

18.11.2012, 23:05

Jello Biafra

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RE: 2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Zitat:

Original von Threadersteller
Aha also darf man es nicht einfach andersrum hinschreiben??

Welches es darf man nicht 'andersrum' hinschreiben? verwirrt

verwirrt

19.11.2012, 11:57

Threadersteller

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RE: 2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Zitat:

Original von Jello Biafra

Zitat:

Original von Threadersteller
Aha also darf man es nicht einfach andersrum hinschreiben??

Welches es darf man nicht 'andersrum' hinschreiben? verwirrt

verwirrt

Naja ICH habe geschrieben
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {2n\choose k} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

und DU hast darauf geschrieben, dass das falsch ist, aber dass
DAS
$\begin{eqnarray*} 2^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$
richtig ist...also nur umgekehrt

19.11.2012, 11:59

Threadersteller

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achsooo nein....das eine geht ja bis 2n!

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19.11.2012, 12:06

Threadersteller

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RE: 2 hoch 2n mit binomischem lehrsatz herleiten

Zitat:

Original von Jello Biafra

Benutze nun die Symmetrie der Binomialkoeffizienten, d.h.:

$\begin{eqnarray*} {2n\choose k}={2n\choose 2n-k} \end{eqnarray*}$

um zunächst zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wie diese beiden Sachen zusammenhängen

Zitat:

Original von Jello Biafra
Und dann kannst Du den Rest mit

$\begin{eqnarray*} {2n\choose k-1}+{2n\choose k}={2n+1\choose k} \end{eqnarray*}$

besorgen.

Ja soweit war ich schon, also ich hatte
$\begin{eqnarray*} {2n+1\choose k} \end{eqnarray*}$
in
$\begin{eqnarray*} {2n\choose k-1}+{2n\choose k} \end{eqnarray*}$
umgeformt...
aber dann wusste ich nicht mehr wie ich weitermachen soll damit

weil ich ja dachte dass der zweite Summand = $\begin{eqnarray*} 2^{2n} \end{eqnarray*}$ ist

19.11.2012, 14:44

Threadersteller

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Ich komme einfach nicht weiter...ist hier niemand, der mir helfen kann?

Ich habe verschiedene Ansätze:
Ansatz 1:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}{2n+1\choose k}=\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k} + \sum_{k=0}^{n}{2n\choose k-1} . \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Ansatz 2 vom binomischen Lehrsatz her:
$\begin{eqnarray*} (1+1)^{2n} = \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k} * 1^{2n-k} * 1^{k} = \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k} = \sum_{k=0}^{n}{2n\choose k} +\sum_{k=0}^{2}{2n\choose k} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Und bei welchem sollte ich besser weitermachen?

19.11.2012, 14:46

Threadersteller

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Beim letzten Summenzeichen muss natürlich auch ein n oben stehen

19.11.2012, 14:48

Threadersteller

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Das Ergebnis von dem letzten müsste dann sein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}{2n\choose k} +\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k} = \sum_{k=0}^{n}{2n+1\choose k+1} \end{eqnarray*}$

aber das ist falsch =((

19.11.2012, 15:12

Threadersteller

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Ist hier niemand, der mir einen Tip geben kann?

19.11.2012, 15:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jello Biafra
um zunächst zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist leider nicht richtig: In der "Mitte" wird rechts der zentrale Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ doppelt gezählt, während er links in der Summe nur einmal vorkommt.

Das Pendant für das ungerade $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

ist aber richtig, und ergibt sich aus der hinlänglich erwähnten Symmetrie

$\begin{eqnarray*} \binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k} \end{eqnarray*}$ .

19.11.2012, 15:29

Threadersteller

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Jello Biafra
um zunächst zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist leider nicht richtig: In der "Mitte" wird rechts der zentrale Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ doppelt gezählt, während er links in der Summe nur einmal vorkommt.

Das Pendant für das ungerade $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

ist aber richtig, und ergibt sich aus der hinlänglich erwähnten Symmetrie

$\begin{eqnarray*} \binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k} \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du mit "zentraler Binomialkoeffizient" und wo ist die "Mitte"??

Sorry...mir fehlt irgendwie die Vorstellung davon was man hier genau für Regeln anwenden kann.

19.11.2012, 15:40

Threadersteller

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Zitat:

Original von HAL 9000
n der Summe nur einmal vorkommt.

Das Pendant für das ungerade $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

ist aber richtig, und ergibt sich aus der hinlänglich erwähnten Symmetrie

$\begin{eqnarray*} \binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du mir das bitte genau erklären, wieso sich das aus der Symmetrie ergibt? Ich glaube das würde ich echt helfen den Gesamtzusammenhang zu verstehen.

19.11.2012, 15:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Threadersteller
Was meinst du mit "zentraler Binomialkoeffizient" und wo ist die "Mitte"??

Ok, dann nochmal für dich ohne erläuternde Attribute, damit du keinen Aufhängungspunkt für derart sinnlose Nachfragen hast:

Zitat:

Original von HAL 9000 (geändert)

Zitat:

Original von Jello Biafra
um zunächst zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n}{2n\choose k}=2\sum_{k=0}^{n}{2n\choose k}. \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist leider nicht richtig: Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{2n}{n} \end{eqnarray*}$ wird rechts doppelt gezählt, während er links in der Summe nur einmal vorkommt.

19.11.2012, 17:05

Threadersteller

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Zitat:

Original von Threadersteller

Zitat:

Original von HAL 9000
n der Summe nur einmal vorkommt.

Das Pendant für das ungerade $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

ist aber richtig, und ergibt sich aus der hinlänglich erwähnten Symmetrie

$\begin{eqnarray*} \binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du mir das bitte genau erklären, wieso sich das aus der Symmetrie ergibt? Ich glaube das würde ich echt helfen den Gesamtzusammenhang zu verstehen.

kannst du diese Frage vielleicht noch beantworten bitte?

19.11.2012, 17:17

HAL 9000

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Setz doch einfach mal der Reihe nach $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} \binom{2n+1}{0} &=& \binom{2n+1}{2n+1}<br /> \binom{2n+1}{1} &=& \binom{2n+1}{2n}<br /> \binom{2n+1}{2} &=& \binom{2n+1}{2n-1}<br /> \vdots & \vdots &\vdots <br /> \binom{2n+1}{n-1} &=& \binom{2n+1}{n+2}<br /> \binom{2n+1}{n} &=& \binom{2n+1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn du nur links summierst, bekommst du $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du nur rechts summierst, bekommst du $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$ .

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} + \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{k} \end{eqnarray*}$ .

19.11.2012, 17:50

Threadersteller

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@HAL 9000

Danke! Jetzt hab ich endlich verstanden, was du die ganze Zeit mit Symmetrie meintest.

Mit 2n+1 als Anfangspotenz und deiner Umformung hat es jetzt endlich geklappt =)

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