Legierung

09.02.2007, 15:53

Legierung

hi
die aufgabe lautet:
Ein metallurgischer Betrieb hat herausgefunden, das er mit handelsüblichen Aluminium eine neue harte und relativ leichte Legierung herstellen kann, wenn diese Legierung genau 4% Titan und 2% Chrom enthält. Da reines Titan und Chrom relativ teuer sind, versucht man aus leicht zu beschaffenden Aluminium-Titan-Chrom- Legierungen die entsprechende Mischung herzustellen.
Auf dem Markt werden vier Legierungen angeboten, deren Titan bzw. Chromgehalt folgender Tabelle zu entnehmen ist, ebenso der Preis pro Mengeneinheit (ME, etwa Tonne), in tausend DM (TDM)

code:
1: 2: 3: 4:	Legierung A B C D Titan 0,06 0,01 0,04 0,03 Chrom 0,01 0,03 0,00 0,04 Preis pro ME 2 TDM 1 TDM 3 TDM 2 TDM

(Werte müsst ihr euch untereinander vorstellen)
Insgesamt braucht der Betrieb genau 1 ME der neuen Legierung

a) Kann man die erhältlichen Legierungen A,B,C und D in solchen Mengen einkaufen, dass sich daraus genau 1 ME der neuen Legierung zusammenschmelzen lässt?

b) Wenn das möglich ist, wie ist die Beschaffung am billigsten?

So ich bin folgendermaßen vorgegangen:
nötig sind ja 4% Titan, 2% Chrom und 94% Aluminium, die zusammen 1ME ergeben müssen

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =Wert des Aluminiums
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =Wert des Titans
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ =Wert des Chroms

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}93&1&6&|&2\\96&3&1&|&1\\96&0&4&|&3\\93&4&3&|&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig? wenn ja, wie nun weiter?

10.02.2007, 06:28

cst

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RE: Legierung
Hmm, ich würde eher so sagen:

$\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ ...eingesetzte Menge der Legierung A, $\begin{eqnarray*} m_2 \end{eqnarray*}$ ...eingesetzte Menge der Legierung B usw.

a)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 93 & 96 & 96 & 93 \\ 6 & 1 & 4 & 3\\ 1 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 94 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(1. Zeile steht für Al, die 2. für Ti, die 3. für Cr.) Das jetzt versuchen zu lösen - es bleibt natürlich ein Parameter drin, z.B. $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ . Erstmal müssen "mathematische" Lösungen existieren (Das tun sie). Diese müssen zusätzlich so aussehen, dass alle $\begin{eqnarray*} m_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind (wg. Sachverhalt). Aus diesen 4 Bedingungen $\begin{eqnarray*} m_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich dann 4 Bedingungen an den verbliebenen Parameter $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn diese sich nicht widersprechen, bleibt ein Intervall übrig, in dem $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ liegen darf. (Haut übrigens auch hin.)

b)
Die Kosten K sind dann (in TDM):
$\begin{eqnarray*} K = 2 m_1 + m_2 + 3 m_3 + 2 m_4 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man für $\begin{eqnarray*} m_2,~m_3~\text{und}~m_4 \end{eqnarray*}$ einsetzt, bleibt eine lineare Funktion in $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ übrig. Diese hat natürlich kein lokales Maximum und ableiten erübrigt sich. K(m1) hat das Maximum an einer Grenze des Definitionsbereiches. Also beide Intervallgrenzen einsetzen, und wo das Kleinere rauskommt, da ist die Produktion am billigsten.

Aber vielleicht weiß ja noch jemand was eleganteres.

10.02.2007, 17:04

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Was ist denn bei a) mit den Preisen? Warum schreibst du die nicht in einer Zeile? Dann hätten wir 4 Zeile!

Aber wenn ich so eine Aufgabe habe, wie merke ich sofort, dass ich so vorgehen muss? Gibt es vielleichts Tipps?

Und zu b) : Wie kommst du auf diese Formel?

edit: ich habe folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} m_1=\frac{2}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_3=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_4=\frac{4}{9} \end{eqnarray*}$
Was ist nun damit?

edit2: Jetzt weiß ich auch, wie du auf die Kosten kommst!

Aber sind meine Ergebnisse im edit richtig?

10.02.2007, 17:51

cst

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Na ja, bei a) war ja nur danach gefragt, ob sich eine solche Legierung überhaupt herstellen läßt, also hab ich das erstmal nur berechnet. Außerdem wußte ich ehrlich gesagt nicht, wie ich die Kosten in den reinen "Mengenmischungsgleichungen" unterbringen sollte Augenzwinkern

. Gut, man hätte auch so schreiben können:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 93 & 96 & 96 & 93 \\ 6 & 1 & 4 & 3\\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 94 \\ 4 \\ 2 \\ K \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber K kennen wir ja noch nicht, wir hätten dann zwar eine Zeile mehr, aber auch eine Unbekannte mehr (K), deswegen ist die Zeile hier überflüssig.

b) Die Formel ergibt sich so: Legierung A kostet 2 TDM/ME. Wenn ich $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ ME benötige, kostet mich das also $\begin{eqnarray*} 2 \frac{TDM}{ME} \cdot m_1~ME = 2m_1~TDM \end{eqnarray*}$ . Analog für die anderen 3 Legierungen.

Zu deinem Edit:
Ich habe (nach meiner Methode) raus:
$\begin{eqnarray*} m_1 \in \mathbb R \\ m_2 = m_1 - \frac{2}{9} \\ m_3 = -m_1 + \frac{5}{9} \\ m_4 = -m_1 + \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

mein edit:
Wie lautet denn deine Matrix als vollständiges LGS hingeschrieben?

2. edit:
Achso, jetzt weiß ich. Mit dem (überbestimmten) LGS aus deinem ersten Post berechnet man x1, x2 und x3; diese geben an, wie teuer 1/100 ME Al, Ti bzw. Cr ist (gefragt war aber nach Mengen). Man kann damit auch nur 3 Größen ausrechnen, weil die Koeffizientenmatrix nur 3 Spalten hat. Meine Koeffizientenmatrix hat 4 Spalten (je eine für jedes $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ ), aber nur 3 Zeilen. Deshalb kann das LGS keine eindeutige Lösung haben. Wie bist du auf denn auf deine $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ gekommen?

3. edit:
Deine $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ sind insofern richtig, als sie eine Lösung des LGS sind, aber eben nur eine. Es gibt unendlich viele Lösungen, da wir für 4 Unbekannte nur 3 Gleichungen haben. Mit deinen $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ kommt man auf DM 2.333,33 Beschaffungskosten, die sind aber noch nicht minimal. Ich komme letztendlich auf DM 1.666,67 Minimum.

10.02.2007, 23:49

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Danke für die guten Erklärungen smile

Am Anfang wollte ich mit x_i die Preise ausrechnen! (das nebenbei; hast du ja schon festgestellt)
-----------------------------

Das gleiche wie deins habe ich auch raus und ich habe einfach für $\begin{eqnarray*} m_1=2/9 \end{eqnarray*}$ verwendet!

Jetzt ist die Frage, wie du auf 2666DM kommst.

Wir haben die Formel:
$\begin{eqnarray*} K(m_1)=2m_1+m_1-\frac{2}{9}-3m_1+\frac{5}{3}-2m_1+\frac{4}{3}=-2m_1+2\frac{7}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K'(m_1)=-2 \end{eqnarray*}$

Aber wie nun weiter?
Das für $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ ?

das wären dann 6777DM

11.02.2007, 03:46

cst

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Du wärst mit deinen ersten m_i (2/9; 0; 1/3; 4/9) auf 2333,33 DM gekommen, nicht ich. Augenzwinkern

Ich hab als Minimum 1666,67 raus, und zwar wie folgt:

$\begin{eqnarray*} K'(m_1)=-2 \end{eqnarray*}$ ist schonmal richtig, K' hat also keine Nullstelle, also hat K kein lokales Extremum. Ist ja auch klar, weil $\begin{eqnarray*} K(m_1)=-2m_1+2\frac{7}{9} \end{eqnarray*}$ eine lineare Funktion (Geradengleichung) ist. Also müssen wir die minimalen Kosten anders finden:

Wir haben als rein rechnerische Lösung:
$\begin{eqnarray*} m_1 & \in & \mathbb R \\ m_2 & = & m_1 - \frac{2}{9} \\ m_3 & = & -m_1 + \frac{5}{9} \\ m_4 & = & -m_1 + \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
Die m_i sind aber Mengenangaben, also müssen alle $\begin{eqnarray*} m_i \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein:
$\begin{eqnarray*} & & m_1 \geq 0 \\ m_2 \geq 0:~ m_1 - \frac{2}{9} \geq 0 & \Rightarrow & m_1 \geq \frac{2}{9} \\ m_3 \geq 0: -m_1 + \frac{5}{9} \geq 0 & \Rightarrow & m_1 \leq \frac{5}{9} \\ m_4 \geq 0: - m_1 + \frac{2}{3} \geq 0 & \Rightarrow & m_1 \leq \frac{6}{9} \\ \end{eqnarray*}$

Diese 4 Bedingungen widersprechen sich nicht, sondern lassen sich zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} \frac{2}{9} \leq m_1 \leq \frac{5}{9} \end{eqnarray*}$ . D.h. wenn m_1 zwischen 2/9 und 5/9 liegt, sind alle m_i positiv.

$\begin{eqnarray*} K(m_1)=-2m_1+2\frac{7}{9} \end{eqnarray*}$ ist eine fallende Gerade (Anstieg = -2), also wird K minimal am rechten Rand des Definitionsbereiches. Man muss also für m1 5/9 einsetzen:
$\begin{eqnarray*} K(\frac{5}{9})=-2 \cdot \frac{5}{9}+2\frac{7}{9}=\frac{15}{9} \approx 1,66667 \end{eqnarray*}$ , also minimale Beschaffungskosten DM 1.666,67.

Okay?

11.02.2007, 12:22

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Erst einmal vielen Dank für die Hilfe und Mühe!!
Zweitens ist das sehr gut erklärt (besser geht es nicht mehr)!

Ich weiß gar nicht mehr, was ich dazu sagen soll, weil du alles beantwortet hast!!

Vielen Dank (das ist mir eine große Hilfe für die Klausur smile

)

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