Berechnung von Linienintegralen

19.11.2012, 09:59

die Ruhige

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Berechnung von Linienintegralen

Meine Frage:
Hey @ all. Gegeben sei folgendes Kraftfeld: F(r)=\begin{pmatrix} x+y \\ z-xy \\ z \end{pmatrix}
a) Ich soll von der Kraft F entlang des Weges C, die geleistete Arbeit \delta A berechnen. Der Weg soll von Punkt a=(0,0,0) nach b=(1,1,1) führen mit \int_C \! F(r) \, dr
C:r(t)=(t,t,c+d exp(t)), 0<t<1
ACHTUNG: Für den Weg C sind zunächst die Konstanten c und d zu bestimmen.

Meine Ideen:
Also zuerst würde ich r'(t) bilden, anschließend und dann F(r(t) einsetzen und das Skalarprodukt ausrechnen zwischen F(r(t) und r'(t) und davon den Betrag nehmen und integrieren. Was hat es jetzt auf sich mit den Konstanten c und d? Wieso muss ich die bestimmen die fallen doch weg?
Und warum hängt die Arbeit vom Verlauf des Weges und nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab?

19.11.2012, 10:03

Womanpower

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Hey @ all. Gegeben sei folgendes Kraftfeld: $\begin{eqnarray*} F(r)=\begin{pmatrix} x+y \\ z-xy \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a) Ich soll von der Kraft F entlang des Weges C, die geleistete Arbeit $\begin{eqnarray*} \delta A \end{eqnarray*}$ berechnen. Der Weg soll von Punkt a=(0,0,0) nach b=(1,1,1) führen mit $\begin{eqnarray*} \int_C \! F(r) \, dr \end{eqnarray*}$
C:r(t)=(t,t,c+d exp(t)), 0<t<1
ACHTUNG: Für den Weg C sind zunächst die Konstanten c und d zu bestimmen.
Danke Big Laugh

Big Laugh

Hammer

19.11.2012, 14:36

Womanpower

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Sind meine Ideen richtig??? Was hat es mit den Konstanten c und d auf sich?

19.11.2012, 14:40

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
Was hat es mit den Konstanten c und d auf sich?

Steht doch in der Aufgabe: Die musst du erst noch bestimmen. t soll von 0 bis 1 laufen. Und es muss

r(0)=(0,0,0) und r(1)=(1,1,1)

sein. Das führt auf ein lineares Gleichungssystem, das du noch eben lösen musst.

Zitat:

Original von Womanpower
Und warum hängt die Arbeit vom Verlauf des Weges und nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab?

Woher weißt du denn, dass (bzw. ob) es so ist?

19.11.2012, 14:45

Womanpower

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Warum hängt die Arbeit vom Verlauf des Weges und nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab?
Das wird immer so gepredigt, darum weiß ich es ja nicht.

r(0)=(0,0,0) und r(1)=(1,1,1)

Und wie sollte das Gleichungssystem aussehen?

19.11.2012, 14:49

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
Warum hängt die Arbeit vom Verlauf des Weges und nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab?
Das wird immer so gepredigt, darum weiß ich es ja nicht.

Das muss nicht zwingend so sein. Das hängt vom Kraftfeld ab. Kraftfelder, die dies erfüllen, nennt man konservativ.

Zitat:

Original von Womanpower
r(0)=(0,0,0) und r(1)=(1,1,1)

Und wie sollte das Gleichungssystem aussehen?

Das würde ich gerne von dir hören. Das ist total einfach und wenn du dir vielleicht etwas länger als 1 Minute Zeit nimmst, schaffst du das auch bestimmt. Es geht doch nur um die dritte Komponente von r. Bei den ersten beiden passt es doch, da steht ja jeweils einfach nur t.

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19.11.2012, 14:57

Womanpower

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Mhmm r(0) sollte doch dann (0,0, c+dexp(0)) sein ? Und r(1) (1,1,c+dexp(1)) ? Aber woher ich das LGS nehmen soll verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c+d \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich c+d=0 -> c=-d bzw d=-c ???

19.11.2012, 14:59

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c+d \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Nein, sondern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c+d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das führt dann natürlich hierzu:

Zitat:

Original von Womanpower
Dann habe ich c+d=0 -> c=-d bzw d=-c ???

Mach das analog noch für t=1. Auch da erhälst du eine Gleichung.

Folglich ein LGS.

19.11.2012, 15:07

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ c+d exp \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist irgendwie komisch verwirrt

verwirrt

naja und wie soll ich das jetzt lösen? Und was ist mit dem anderen LSG? Danke für deine Hilfe und Geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2012, 15:09

Mulder

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Also irgendwie bist du nicht so wirklich bei der Sache.

Zitat:

Original von Womanpower
r(1)=(1,1,1)

Heißt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ c+d \exp(1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu lösen bleibt also:

$\begin{eqnarray*} c+d \exp(1)=1 \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 15:18

Womanpower

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Bin auch schon seit 7 Uhr durchgehend (außer'm halbstündigen Frühstück) an Aufgaben...

dann haben wir doch c=1-dexp(1) bzw. nach d aufgelöst unglücklich

unglücklich

Tränen

mir ist das irgendwie gerade peinlich

19.11.2012, 15:23

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
Bin auch schon seit 7 Uhr durchgehend (außer'm halbstündigen Frühstück) an Aufgaben...

Dann mach vielleicht ne Pause.

Zitat:

Original von Womanpower
dann haben wir doch c=1-dexp(1) bzw. nach d aufgelöst peinlich

Wir haben ein Gleichungssystem. Zwei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 1) \, c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \, c+d \exp(1)=1 \end{eqnarray*}$

Sowas musst du doch auch in der Schule schon zig Mal gehabt haben. Aus Gleichung 1 folgt d=-c, das hattest du schon. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} c-c \exp(1)=1 \end{eqnarray*}$

Was sich leicht nach c auflösen lässt (und dann hast du auch d). Fertig.

19.11.2012, 15:36

Womanpower

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Danke

Gott

manchmal hat man echt kein Kopf mehr..
Damit haben wir c=-0,58 und d=0,58 und weiter geht's wie ?

19.11.2012, 15:40

Mulder

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RE: Berechnung von Linienintegralen
Runden darfst du natürlich erstmal nicht, du musst schon mit den exakten Werten weiter rechnen. Und wie es weiter geht, hast du doch selbst schon gesagt:

Zitat:

Original von die Ruhige
Also zuerst würde ich r'(t) bilden, anschließend und dann F(r(t) einsetzen und das Skalarprodukt ausrechnen zwischen F(r(t) und r'(t) und davon den Betrag nehmen und integrieren.

Ran an den Speck!

Beträge setzen musst du allerdings nicht. Skalaprodukt bilden und integrieren.

19.11.2012, 15:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Womanpower
Warum hängt die Arbeit vom Verlauf des Weges und nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt ab?
Das wird immer so gepredigt, darum weiß ich es ja nicht.

Wie Mulder schon sagte, das gilt nur für konservative Kraftfelder. Dass es sich hier nicht um ein solches handelt, kannst du sehen, indem du die Rotation von $\begin{align*} \vec F \end{align*}$ bildest, $\begin{align*} \nabla \times \vec F \end{align*}$ . Bei einem konservativen Feld müsste das 0 ergeben, da es von einem Potential durch Gradientenbildung abgeleitet werden könnte.

19.11.2012, 16:02

Womanpower

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Die Grenzen sind ja 0 und 1 ?

19.11.2012, 16:26

Womanpower

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Rotation hatten wir noch nicht.
$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{1-e}e^{t}-1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? (Ehe ich das falsche Skalarprodukt ausrechne)

19.11.2012, 16:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Womanpower
Rotation hatten wir noch nicht.

Dann mach ich das: Die dritte Komponente von $\begin{align*} \nabla\times\vec F \end{align*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = -y -1\neq 0 \end{eqnarray*}$

Das Feld ist also nicht konservativ.

Gruß
Peter

19.11.2012, 16:41

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt schon nicht (offenbar die errechneten c und d irgendwie vertauscht).

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{1-e}e^{t}-1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt ebenfalls nicht. Anscheinend war das der Versuch, F(dr/dt) zu berechnen, was aber überhaupt nicht verlangt ist.

unglücklich

unglücklich

19.11.2012, 16:58

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} c:r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t \\ c+de^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c+d=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow d=-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c+dexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-cexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

Wir haben also links von der Gleichung stehen c-c exp(1). Exp(1) ist einfach e und e ist 2,71828... dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} 1c-2,71c=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -1,71c=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c=0,58 \end{eqnarray*}$

Mir wurde aber empfohlen den exakten Wert zu nehmen und der ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$ ... traurig

traurig

19.11.2012, 17:04

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} 1c-2,71c=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -1,71c=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c=0,58 \end{eqnarray*}$

Wieso wird c in der letzten Zeile jetzt schon wieder positiv? c=-0,58 ! (gerundet)

Zitat:

Original von Womanpower
Mir wurde aber empfohlen den exakten Wert zu nehmen und der ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

Ja, stimmt auch. Und damit d=1/(e-1)

Und wenn ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e} + \frac{1}{e-1}e^t \end{eqnarray*}$

ableite, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e-1}e^t \end{eqnarray*}$

Und eben NICHT auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e}e^t \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 17:22

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} c:r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r'(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das muss doch jetzt soweit stimmen? Und F(r(t) auch?

$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2t \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t} -t^{2}\\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 17:36

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} c:r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sowas von hartnäckig. Zum dritten Mal, das ist falsch!

Setz doch mal t=1 ein! Da kommt in der dritten Zeile nicht 1 raus, sondern -1.

19.11.2012, 18:28

Womanpower

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Hammer

LOL Hammer

Finger1

Also heute wäre es glaube ich besser im Bett zu bleiben...

$\begin{eqnarray*} c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=-d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=-c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c+dexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c-cexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c=- \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

jetzt das gleich mit $\begin{eqnarray*} c=-d \end{eqnarray*}$ dann haben wir

$\begin{eqnarray*} -d+dexp(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d=\frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

Also wenn es jetzt nicht stimmt dann weiß ich nicht weiter... traurig

traurig

19.11.2012, 18:45

Mulder

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Jetzt hast du doch genau den gleichen Fehler sogar noch ein viertes Mal gemacht. Du hast jetzt nochmal wieder genau das gleiche geschrieben wie vorher. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das mit dem Bett ist vielleicht wirklich keine allzu schlechte Idee.

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} c-cexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt's noch. Also:

$\begin{eqnarray*} c(1-e)=1 \end{eqnarray*}$

Warum setzt du jetzt immer und immer wieder dieses Minuszeichen hier?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c=\color{red} -\color{black}\frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

Von

$\begin{eqnarray*} c(1-e)=1 \end{eqnarray*}$

kommt man doch auf

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 18:52

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2t \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t}-t^{2} \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{1-e}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 18:57

Womanpower

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Zitat:

Original von Mulder
Jetzt hast du doch genau den gleichen Fehler sogar noch ein viertes Mal gemacht. Du hast jetzt nochmal wieder genau das gleiche geschrieben wie vorher. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das mit dem Bett ist vielleicht wirklich keine allzu schlechte Idee.

Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} c-cexp(1)=1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt's noch. Also:

$\begin{eqnarray*} c(1-e)=1 \end{eqnarray*}$

Warum setzt du jetzt immer und immer wieder dieses Minuszeichen hier?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c=\color{red} -\color{black}\frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

Von

$\begin{eqnarray*} c(1-e)=1 \end{eqnarray*}$

kommt man doch auf

$\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

Du klammerst es aus! Aber wenn man nicht ausklammert

hat man doch stehen $\begin{eqnarray*} 1c-2,71c=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1,71c=1 \end{eqnarray*}$ und wir teilen auf beiden Seiten durch $\begin{eqnarray*} -1,71 \end{eqnarray*}$ dann wird doch $\begin{eqnarray*} -1,71c:-1,71c=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1:-1,71=-0,58 \end{eqnarray*}$

19.11.2012, 19:02

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
Du klammerst es aus! Aber wenn man nicht ausklammert

hat man doch stehen $\begin{eqnarray*} 1c-2,71c=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1,71c=1 \end{eqnarray*}$ und wir teilen auf beiden Seiten durch $\begin{eqnarray*} -1,71 \end{eqnarray*}$ dann wird doch $\begin{eqnarray*} -1,71c:-1,71c=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1:-1,71=-0,58 \end{eqnarray*}$

Einmal abgesehen davon, dass das keine Gleichheiten sind, sondern Rundungen: Ja, stimmt doch auch.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-e} \end{eqnarray*}$

IST doch negativ. Der Nenner wird doch negativ, weil e>1 ist.

19.11.2012, 19:09

Womanpower

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Oki danke. unglücklich

unglücklich

Mit mir ist es echt schlimm... Ok dann mache ich mal am Rest...

19.11.2012, 19:16

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2t \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t}-t^{2} \\ -\frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch jetzt wohl Gott

Gott

19.11.2012, 19:21

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} F(r(t))=\begin{pmatrix} 2t \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t}-t^{2} \\ \color{red}-\color{black} \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das stimmt doch jetzt wohl

Nein, du hast wieder dieses Minuszeichen da hingesetzt. Aber man gewöhnt sich mittlerweile dran. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2012, 19:29

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} F(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt}= \end{eqnarray*}$ [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2t \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t}-t^{2} \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix}=...

19.11.2012, 19:34

Mulder

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Zitat:

Original von Womanpower
$\begin{eqnarray*} F(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2t \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t}-t^{2} \\ \frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t} \end{pmatrix}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2t+0-t^{2}-0,33869e^{t}+0,33869e^{2t} \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch wieder nicht. Wo kommt das "+0" her?

Und ich sage es nochmal: Nicht runden! Das kannst du, wenn du willst, ganz am Endemit dem Endergebnis machen. Aber nicht vorher. Arbeite mit den exakten Werten.

Edit: Für heute muss ich mich auch abmelden.

19.11.2012, 19:44

Womanpower

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$\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}\cdot F(r(t))=2t+\frac{1}{1-e}+\frac{1}{e-1}e^{t}-t^{2}+\frac{1}{(e-1)(1-e)} e^{t}+\frac{1}{(e-1)(e-1)}e^{2t} \end{eqnarray*}$

Rock

Rock

Oh danke d.h. du bist jetzt off? Mh anscheinend ja..

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