Konvergenz einer Reihe

19.11.2012, 10:42

setarcos

Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich sitze an einer Reihe, soll sie auf Konvergenz untersuchen, und komme nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n+2)}{\sqrt[3]{n^3+2n+4)})} \end{eqnarray*}$

Ich denke, ich betrachte zunächst den Nenner, weiß aber nicht, wie ich ihn umformen soll... vielleicht erweitern? mit was?

19.11.2012, 10:52

Mazze

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Schau doch mal nach, ob das notwendige Kriterium damit eine Reihe konvergieren kann überhaupt erfüllt ist.

19.11.2012, 11:51

setarcos

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das notwendige Kriterium ist, dass für die Folge $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }= 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Also muss der Nenner größer sein / werden, als der Zähler.

Ich weiß durch das Einsetzen größerer Zahlen für n, dass die Folge aber gegen 1 konvergiert. Das muss ich durch Umformen sicher zeigen. Nur komme ich beim Umformen nicht weiter, ich krieg den Bruch nicht hübsch hin, um anschließend bei der Grenzwertbetrachtung auf 1 zu kommen.

19.11.2012, 11:53

Mazze

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Naja, offenbar ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{\sqrt[3]{n^3+2n+4)})} \geq \frac{(n+2)}{\sqrt[3]{n^3+2n^3+4n^3)})} \end{eqnarray*}$

den Rest packst Du Augenzwinkern

Zitat:

ich krieg den Bruch nicht hübsch hin, um anschließend bei der Grenzwertbetrachtung auf 1 zu kommen.

Brauchst Du prinzipiell auch nicht. Uns reicht völlig, dass es keine Nullfolge ist. Der exakte Grenzwert ist für die Konvergenzbetrachtung der Reihe nicht erforderlich.

19.11.2012, 12:43

setarcos

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Den Rest pack ich leider nicht. Scheinbar muss ich abschätzen, und am Ende muss irgendeine Zahl ungleich 0 dabei herausspringen. Ich muss also nur zeigen, dass keine Nullfolge vorliegt.

Ich würde die Wurzel ausrechnen, dann steh ich aber vor demselben Problem, oder ich schätze weiter ab, sehe aber nicht, was ich da nehmen soll.

ich schwör dir, wenn ich das Ding erschlagen bekomme.. dabei is das doch bestimmt nicht so schwer. Das nervt!

19.11.2012, 13:22

Mazze

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Du kannst bei

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{\sqrt[3]{n^3+2n^3+4n^3)})} \end{eqnarray*}$

den Nenner sehr gut zusammenfassen. Es ist

$\begin{eqnarray*} n^3 + 2n^3 + 4n^3 = 7n^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt Potenzgesetze anwenden und den Grenzwert bestimmen.

19.11.2012, 13:28

HAL 9000

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Letzten Endes ist das mit der Abschätzung sogar "Kür", man kann ja auch ganz einfach über

$\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{\sqrt[3]{n^3+2n+4}} = \frac{\frac{1}{n}(n+2)}{\sqrt[3]{\frac{1}{n^3}(n^3+2n+4)}} = \frac{1+\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^3}}} \to \frac{1}{\sqrt[3]{1}} = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

argumentieren.

19.11.2012, 17:35

setarcos

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Okay, vielen Dank euch beiden für die Hilfe :-)

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