Gleichung mit Summe im Nenner umformen

19.11.2012, 13:46

Maisinator

Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Moin!

Ich habe folgende Gleichung gegeben: $\begin{eqnarray*} \frac{U}{U_{3}}=r+1/k-rk \end{eqnarray*}$ . Diese soll ich nach $\begin{eqnarray*} \frac{U_{3}}{U} \end{eqnarray*}$ umformen, wobei $\begin{eqnarray*} \frac{U_{3}}{U} = u \end{eqnarray*}$ gilt.

Somit erhalte ich (bitte korrigieren falls falsch!): $\begin{eqnarray*} \frac{U_{3}}{U}= u =\frac{1}{r+\frac{1}{k}-rk} \end{eqnarray*}$

Dies soll ich jetzt auch noch nach k als Funktion von u und r umformen. Hier komme ich jedoch nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich? Mein Problem ist, dass ich ne Summe im Nenner habe und nicht weiß, wie ich dann k isoliere...

19.11.2012, 14:01

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Zitat:

Original von Maisinator
$\begin{eqnarray*} \frac{U_{3}}{U}= u =\frac{1}{r+\frac{1}{k}-rk} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist richtig.

Zitat:

Original von Maisinator
Dies soll ich jetzt auch noch nach k als Funktion von u und r umformen.

Wenn Du beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} {r+\frac{1}{k}-rk} \end{eqnarray*}$ malnimmst und dann noch ein wenig umstellst, bekommst Du eine quadratische Gleichung.

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 14:12

Maisinator

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn Du beide Seiten mit $\begin{eqnarray*} {r+\frac{1}{k}-rk} \end{eqnarray*}$ malnimmst und dann noch ein wenig umstellst, bekommst Du eine quadratische Gleichung.

Ok, jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u}-r=\frac{1}{k}-rk \end{eqnarray*}$ . Nur wie bekomme ich das r jetzt noch nach links und rechts nur k?

19.11.2012, 14:20

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Zitat:

Original von Maisinator
Nur wie bekomme ich das r jetzt noch nach links und rechts nur k?

Rechts nur k wird nicht gehen, weil es eine quadratische Gleichung ist. Bring alles auf eine Seite, so daß auf der anderen also Null steht und multipliziere beide Seiten mit k.

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 14:36

Maisinator

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen
Oh man, ich raff's nicht traurig

Ich hab jetzt alles auf eine Seite gebracht und mit k multipliziert, sodass ich folgendes erhalte:
$\begin{eqnarray*} u(r+\frac{1}{k}-rk)-1=0 |*k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} uk(r+\frac{1}{k}-rk)-k=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ukr + u - uk^{2}r-k=0 \end{eqnarray*}$

Und nun?

19.11.2012, 14:47

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Zitat:

Original von Maisinator
$\begin{eqnarray*} ukr + u - uk^{2}r-k=0 \end{eqnarray*}$

Und nun?

Im Grunde bist Du gleich fertig, denn Du wolltest ja

Zitat:

Original von Maisinator
nach k als Funktion von u und r umformen

EDIT: meinen Unsinn korrigiert...

Es gibt jetzt über die pq-Formel zwei k, die diese Gleichung erfüllen.

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 15:01

Maisinator

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen
Wo siehst du denn da eine pq-Formel drin? pq-Formel ist doch eigentlich nur für $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ zu gebrauchen Hammer

19.11.2012, 15:33

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen
Du mußt die zwei Seiten noch durch -ur teilen.

Die pq-Formel liefert Dir dann die gesuchten zwei Lösungen (und damit auch Gleichungen) für k.

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 16:19

Maisinator

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen
Es tut mir leid, wenn ich mich so dumm anstelle, aber ich hab's immernoch nicht...

Dein Tipp mit durch $\begin{eqnarray*} ur \end{eqnarray*}$ teilen hat mich weitergebracht, allerdings nicht bis zum gewünschten Resultat.

Ich habe jetzt: $\begin{eqnarray*} k^2-k-r+\frac{k}{ur} =0 \end{eqnarray*}$

Wie ich das in die pq-Formel einsetzten soll weiß ich aber nicht, da ich ja 2ks habe...

19.11.2012, 16:30

Steffen Bühler

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen

Zitat:

Original von Maisinator
$\begin{eqnarray*} k^2-k-r+\frac{k}{ur} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = k^2+(\frac{1}{ur}-1) \cdot k-r \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{ur}-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-r \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

19.11.2012, 16:32

Maisinator

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RE: Gleichung mit Summe im Nenner umformen
Na klar, k ausklammern... Man, wie ich mich heute anstelle, das ist ja schon fast peinlich^^

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