Analytische Geometrie - Komplanarität, Spatprodukt, Orthonalität

19.11.2012, 16:12

muff-in

Analytische Geometrie - Komplanarität, Spatprodukt, Orthonalität

Hallo,

Ich hätte eine kurze Verständinsfrage:

Also:

1) 2 Vektoren sind immer komplanar.

2) 3 Vektoren sind dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt verschwindet, also $\begin{eqnarray*} \left[\vec a\vec b \vec c\right] = 0 \end{eqnarray*}$

3) Aus 2) folgt: 3 Vektoren sind nicht komplanar, wenn ihr Spatprodukt nicht verschwindet, also $\begin{eqnarray*} \left[\vec a\vec b \vec c\right] \neq 0 \end{eqnarray*}$

4) Das Spatprodukt berrechnet sich aus: $\begin{eqnarray*} \left[\vec a\vec b \vec c\right] = \vec a \circ \left(\vec b \times \vec c\right) \end{eqnarray*}$

5) Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. $\begin{eqnarray*} \vec a \circ \vec b = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt die Frage:

Wenn sich das Spatprodukt $\begin{eqnarray*} \left[\vec a\vec b \vec c\right] \end{eqnarray*}$ , aus dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec a \circ \left(\vec b \times \vec c\right) \end{eqnarray*}$ berrechnet, und dann $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergibt, heißt es doch, dass $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \vec b \times \vec c \end{eqnarray*}$ senkrecht steht, d.h. orthogonal ist.

Wenn aber $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec b \times \vec c \end{eqnarray*}$ ist, kann es nicht mit diesen auf einer Ebene liegen, d.h. es kann nicht komplanar sein.

Wenn Vektoren aber nicht komplanar sind, verschwindet ihr Spatprodukt NICHT! (Siehe 2))

Und meine Frage wär jetzt, wo ich meinen Denkfehler mache. =)

Liebe Grüße

19.11.2012, 16:37

original

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RE: Analytische Geometrie - Komplanarität, Spatprodukt, Orthonalität

Zitat:

Original von muff-in

Ich hätte smile

eine kurze
Verständinsfrage..

... und dann $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergibt, heißt es doch, dass $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \vec b \times \vec c \end{eqnarray*}$ senkrecht steht, d.h. orthogonal ist. Freude

Wenn aber $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} \vec b \times \vec c \end{eqnarray*}$ ist, kann es nicht mit diesen auf einer Ebene liegen,
d.h. es kann nicht komplanar sein. unglücklich

Und meine Frage wär smile

jetzt, wo ich meinen Denkfehler mache.

->
dein Denkfehler: bXc ist ein Normalenvektor zur von b und c aufgespannten Ebene

also:
b ist senkrecht zu bXc .. und c ist senkrecht zu bXc
und wenn nun auch a senkrecht zu bXc herumliegt, dann ist a in (oder parallel zu) der
von b und c aufgespannten Ebene

findest du immer noch, dass dass die drei -> a,b,c dann nicht komplanar seien?

was würdest smile

du sagen?
.

19.11.2012, 16:40

riwe

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RE: Analytische Geometrie - Komplanarität, Spatprodukt, Orthonalität
b und c stehen jeweils senkrecht auf ihr vektorprodukt.
wenn also a auch senkrecht darauf steht, wo liegt der vektor a dann verwirrt

19.11.2012, 16:41

muff-in

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Okay, Tut mir leid.

Ich habs mir jetzt 5 mal durchgelesen und verstehs immernoch nicht Big Laugh

Könntest dus mir nochmal erklären?

19.11.2012, 16:42

muff-in

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Nein, b und c spannen doch gemeinsam eine Ebene auf, oder nicht?
Ein Parallelogramm

Wie können b und c auf ihrem eigenen Vektorprodukt senkrecht stehen? o.0

19.11.2012, 16:51

riwe

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vektorprodukt
so ist´s halt definiert Augenzwinkern

19.11.2012, 16:51

original

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Zitat:

Original von muff-in
Nein, b und c spannen doch gemeinsam eine Ebene auf, oder nicht?
Ein Parallelogramm

genau - und der neue Vektor n= bXc steht senkrecht zu dieser Ebene ( senkrecht also zu b und zu c)
also senkrecht zu deinem Parallelogramm

und wenn nun a wiederum senkrecht zu n steht ist a dann parallel zum Parallelogramm
(bau dir ein Modell zB mit vier Bleistiften)

"
Wie können b und c auf ihrem eigenen Vektorprodukt senkrecht stehen? "
weil dieses Vektorprodukt ein neuer Vektor n ist , der seinerseits senkrecht auf b und c herumsteht..
.

19.11.2012, 16:57

muff-in

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Achso

Jetzt hab ichs endlich! geschockt

Okay. Dankeschön =) smile

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