Unterräume eines Vektorraums

19.11.2012, 16:53

MatheNoobii

Unterräume eines Vektorraums

Hallo

Habe hier eine Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich vorgehen soll:

Seien $\begin{eqnarray*} U,W,Z \end{eqnarray*}$ Unterräume eines Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) Die Vereinigungsmenge $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wenn entweder $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subset U \end{eqnarray*}$ gilt.

b) Weiter sei $\begin{eqnarray*} U\subset Z \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (U+W) \cap Z = U + (W \cap Z) \end{eqnarray*}$

c) Auf die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} U \subset Z \end{eqnarray*}$ in (b) kann nicht verzichtet werden.

Meine Ideen:

a) Es muss gelten: $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subset U \end{eqnarray*}$

Da U und W Unterräume sind haben sie folgende Eigenschaften:

1) Sie sind abgeschlossen bzgl. der Addition,
d.h. für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} v+w \in U \end{eqnarray*}$

2) Sie sind abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation,
d.h für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R, v \in U \end{eqnarray*}$ , gilt $\begin{eqnarray*} \lambda v \in U \end{eqnarray*}$

Bedeutet das, dass ein Unterraum quasi eine Ebene ist? z.B im kartesischen Koordinatensystem R^3 die x1,x2 Ebene?

Falls das stimmt, versteh ich nicht wie $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subset U \end{eqnarray*}$ gelten kann, da die Ebenen doch sonst identisch sein müssten, oder?

20.11.2012, 12:04

Mulder

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RE: Unterräume eines Vektorraums

Zitat:

Original von MatheNoobii
Bedeutet das, dass ein Unterraum quasi eine Ebene ist? z.B im kartesischen Koordinatensystem R^3 die x1,x2 Ebene?

Im R³ kann ein Unterraum eine Ebene sein, ja. Muss aber nicht. Wie sieht's mit Geraden aus? Und die können dann auch Unteräume von Ebenen sein.

Solche Veranschaulichungen mit "Ebenen" versagen aber doch sofort, wenn du mal andere Vektorräume betrachtest. Sind die Elemente deines Vektorraums z.B. Funktionen oder Matrizen oder sonstwas, versagen diese Veranschaulichungen. Auch wenn du z.B. den IR^4 betrachtest, hängst du schon. Insofern hilft das nicht so wirklich weiter, denn wir wollen das hier allgemein zeigen.

Die Richtung $\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$ ist klar.

Bei der Richtung $\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \end{eqnarray*}$ geht Beweis durch Widerspruch.

20.11.2012, 12:36

MatheNoobii

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RE: Unterräume eines Vektorraums
Ja okay, so habe ich mir das gedacht!

Aber ich weiß nicht wie ich jetzt ansetzen soll?

Quasi so:

Die Vereinigungsmenge $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ ist genau dann kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} U nicht \subset W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W nicht \subset U \end{eqnarray*}$ gilt.

20.11.2012, 13:36

Mulder

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RE: Unterräume eines Vektorraums
Bitte drauf achten, was ich schreibe. Das ist notwendig, sonst geht's hier nicht vorwärts.

Zitat:

Original von Mulder
Die Richtung $\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$ ist klar.

Mit "klar" meine ich, dass das sehr einfach ist und das kannst du auch direkt beweisen. Mach das.

Zitat:

Original von Mulder
Bei der Richtung $\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \end{eqnarray*}$ geht Beweis durch Widerspruch.

Mit "Widerspruch" meine ich nur diese eine Richtung des Beweises.

Sei also $\begin{eqnarray*} U \cup W \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum.

Annahme: $\begin{eqnarray*} U \not \subset W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \not \subset U \end{eqnarray*}$ .

Das kann man zum Widerspruch führen.

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