Abzählbare unendliche Menge, Teilmenge

19.11.2012, 18:04	strategic	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbare unendliche Menge, Teilmenge Meine Frage: Hallo ihr, mein Problem: Zeigen Sie, dass jede unendliche Menge eine abzählbar unendliche Teilmenge enthält. Meine Ideen: Meine Überlegungen: Wenn die unendliche Menge selbst abzählbar ist, ist ihre unendliche Teilmenge ebenso abzählbar. Da hätte man z.B. IN und ihre Teilmenge IN-{1}. Also muss ich davon ausgehen, dass die unendliche Menge nicht abzählbar ist. Da fällt mir z.b. ein solches Beispiel ein (ich nutze gerne und brauche Beispiele, weil ich sehr visuell denke): IR. Die ist unendlich, nicht abzählbar. Eine unendliche Teilmenge, die aber abzählbar ist, wäre für IR doch IN. Ich habe jedoch keine Ahnung, wie man solche Dinge beweist. Ich weiß auch, dass es sicher zig-Threads in zig-Foren dazu gibt, aber alle nehmen Dinge an, die ich nicht verstehe. Ich arbeite gerne mit bei der Lösung, aber ich brauche einen Anfang, den ich erstmal verstehe.
19.11.2012, 20:08	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine abzählbar unendliche Teilmenge ist von der Form $\begin{eqnarray} \{x_1,x_2,x_3,\dots\} = \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}, \end{eqnarray}$ wobei die $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind. Jetzt sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine unendliche Menge wie in der Aufgabenstellung. Wie könnte man denn zu einer Teilmenge wie oben kommen?
19.11.2012, 20:50	strategic	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem man z.B. X \ {x1} als seine Teilmenge betrachtet? Und die Folge besteht dann aus {x2, x3, x4,...} Elementen? Weiß nicht, ob ich deine Frage verstehe.
19.11.2012, 21:40	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm du scheinst zu verstehen, was ich meine, drückst dich aber noch etwas ungeschickt aus. Wir starten erstmal mit einem beliebigen $\begin{eqnarray} x_1\in X \end{eqnarray}$ . Dann gucken wir uns die Menge $\begin{eqnarray} X\setminus\{x_1\} \end{eqnarray}$ an. Da die Menge mehr als ein Element hat, gibt es ein $\begin{eqnarray} x_2\in X\setminus\{x_1\} \end{eqnarray}$ . ...wie geht es weiter?
19.11.2012, 22:03	strategic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm.. weiß nicht recht worauf du hinaus willst... Bei der Teilmenge X \ {x1} sind doch alle x wieder enthalten, nur eben nicht das x1. x2 in X \ {x1} x3 in X \ {x1} x4 in X \ {x1} usw..

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