eine Aufgabe aus der linearen Algebra

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ucar Auf diesen Beitrag antworten »
eine Aufgabe aus der linearen Algebra
erst mal hallo an alle,

ich habe ein grooooßes problem. und zwar schreibe ich am montag meien vorabiklausur in mathe.

meine mathelehrerin hat gesagt, wir sollten die folgende aufgabe gut vorbereiten, da es für montag hilfreich sei

die aufgabe:

zur plakattierung von Werbung soll eine quadratische Säule mit einer Grundkante von 80 cm und einer Höhe von 2m aufgebaut werden.

Das Grundgerüst dieser Säule besteht aus einer Eisenkonstruktion.

So und jetzt ist hier eine Skizze aufgezeichnet. Die Skizze kann ich ja leider nur erklären: es ist ein Quader aufgezeichnet, der unten in der Grundgläche die Punkte A; B; C und D besitzt und oben in der Grundfläce E; F; G und H.

Benutzen Sie für die Teilaufgaben 1-3: 1LE=1dm

1. Die Seitenfäche BCGF der Säule wird durch gleich lange Querstreben stabilisiert.
Bestimmen Sie die Länge der Streben und den Winkel, den die sich kreuzenden Querstreben einschließen.

Festlegung: Bei den Teilaufgaben 2 und 3 liegt die Grundfläche ABCD in der x-y-Eben und die Kante [AD] verläuft parallel zur x-Achse.
Der Supermarkt Q mietet mehrere dieser Reklamsäulen, um in Alststadt großflächig zu werben.

2. Eine der gemieteten Reklamesäulen wurde in einem Gelände, das durch eine Ebene beschrieben werden kann, aufgestellt. Die Eckpunkte E, F und G der Deckfläche werden durch die mit dem Richtungsvektor einfallenden Sonnenstrahlen auf die Punkte des Geländes projiziert.

a) Bestimmen Sie die Ebenengleichung für das Gelände in Koordinatenform.
b) Bestimmen Sie den Projektionspunkt des Punktes H.

3. Zum Ausrichten der Reklamesäule beim Aufstellen in unebenem Gelände ist die Säule an den Eckpunkten A, B, C bzw. D der Grundfläche mit Füßen versehen, die herausgedreht werden können.
Berechnen Sie, um wieviele cm man die Füße mindestens herausdrehen muss, wenn das Gelände, auf dem die Säule aufgestellt werden soll, durch die Ebenengleichung E: x+y+16z= 0 gegeben ist.

Legt man die Untersuchungen aus anderen Städten zugrunde, so kommt es zwischen den zwei vorhandenen Discountern P und R und dem Supermarkt Q aufgrund der wöchentlich wechselnden Angebote zu folgenden Käuferwanderungen:

so jetzt ist hier ein übergangsschema aufgezeichnet:

1. Kreis: P 900 (behält 0,7, gibt 0,1 an Q und 0,2 an R weiter)
2. Kreis: Q 400 (behält 0,4, gibt 0,2 an P und 0,4 an R weiter)
3. Kreis: R 800 (behält 0,6, gibt 0,1 an P und 0,3 an Q weiter)

900, 400 und 800 sind die durchschnittlichen täglichen Kundenzahlen der verschiedenen Märkte in der 21. Kalenderwoche. Die Kundenzahl insgesamt ist also als konstant anzusehen

4. Stellen Sie die Übergangsmatrix K auf

5.
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Kunden, die in der 22. Kalenderwoche in den verschiedenen Märkten einkaufen.
b) Bestimmen Sie den Anteil der Kunden, die innerhalb von 2 Wochen von P nach Q oder R wechseln

6. Bestimmen Sie das Kaufverhalten in der 20. Kalenderwoche und nennen Sie mögliche Gründe, warum Supermarkt Q großflächig wirbt

7. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Kunden, die langfristig in den einzelnen Märkten einkaufen
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

für die erste teilaufgabe habe ich mir überlegt, dass diese Quersttreben jeweils genau bis zur mitte der Höhe 20 dm kommen! da ich auch die Grundkante kenne (8dm) könnte ich länge der Querstreben durch den Satz des Phythagoras lösen, oder verwirrt
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

zu 1)

Ist schwer ohne Skizze nachzuvollziehen wie die Querstreben verlaufen.
Die Länge dieser Streben kann man wohl entweder durch die Länge eines Vektors, also den Abstand zweier Punkte, oder evtl auch mit Phythagoras berechnen.

zu 2)

Da war letzte Woche schonmal was:

Analytische Geometrie: Plakatierung von Werbung

zu 3)

Berechne den Abstand der Punkte A,B,C und D von E

zu 4)

In Austauschmatrizen ist die Summe der Einträge in jeder Spalte gleich 1

zu 5)

Matrizenmultiplikation mit einem Vektor v (Kundenzahlen)

----> K*v für eine Woche

----> K²*v für zwei Wochen

zu 6)

Inverse Matrix berechnen

zu 7)

Grenzmatrix mit CAS bestimmen

Gruß Björn
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

zu 4)

da habe ich für die Austauschmatrix folgende werte:



zu 5) da komme ich irgendwie nicht so ganz klar

ich habe ja für die 21. Kalenderwoche die durchschnittlichen täglichen Kundenzahlen der verschiedenen Märkte, und zwar für P 900, für R 800 und für Q 400

die Kundenzahl insgedamt ist als konstant anzusehen

ich gehe mal davon aus, dass mit kundenzahl insgesamt 900+800+400=2100 gemeint ist, oder verwirrt

oder muss ich einfach berechnen????
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

der letzte gedanke ist wahrscheinlich falsch. irgendwie muss ich den kundenvektor der 20. woche herausbekommen oder verwirrt verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube deine Matrix stimmt nicht ganz.
Stelle dir mal vor du multiplizierst diese jetzt mit einem Vektor , dann passt das nicht mit der neuen Kundenverteilung aus der Aufgabenstellung zusammen.

Für die neue Kundeverteilung muss ja gelten:

P' = 0,7*P+0,2*Q+0,1*R
Q' =....
R' = ...

Aus einem solchen LGS kannst du dann die Matrix ganz gut ablesen.

Durch Verknüpfung (Multiplikation) dieser Matrix mit der Ausgangskundenverteilung P=900, Q=400 und R=800 erhält man dann die Kundenverteilung für die nächste Woche.

Gruß Björn
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt verstehe ich nicht

P=900 R=800 und Q= 400 ist ja die Kundenverteilung für die 21. Kalenderwoche, aber ich soll ja die Anzahl der Kunden bestimmen, die in der 22. Kalenderwiche in den verschiedenen Märkten einkaufen!!!
ich verstehe hier nicht, wie ich die Kundenverteilung für die 22. Kalenderwoche rausbekomme.
ich muss doch die Matrix K mit der Kundenverteilung für die 22. Kalenderwoche multiplizieren, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

siehe oben
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe gerade bemerkt, dass ich hier auch den kundenvektor für die 20. Kalenderwoche angegeben habe: nämlich

wenn ich K mit diesem vektor multipliziere kommen nicht die kundenzahlen für die 21. kalenderwoche raus. deswegen kann es doch nicht so klappen, wie du es mir beschrieben hast, oder verstehe ich da etwas falsch verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja geschrieben, dass deine Matrix K noch noch richtig ist.
Daran wird es wohl liegen, denn du hast schon recht:

Um die Kunderverteilung v in der 20. KW rauszukriegen, muss man

lösen

War der Kundenvektor als Kontrollergebnis gegeben oder warum hast du ihn schon ?

Gruß Björn
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

ja die ist zur kontrolle gegeben für die letzte aufgabe (ist ja nicht die 22. die ich brauche, sondern die 20. Woche), aber was ist denn an meiner matrix falsch???? verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte ich ja oben mal geschrieben, wie man die Matrix am besten ablesen kann.
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm

also jetzt habe ich folgendes raus:



da

ergibt, gehe ich davon aus, dass die auch stimmt!

jetzt zu 5a) ich muss ja die Kundenanzahl der 22. KWoche bestimmen

da berechne ich einfach K* den Vektor (900/400/800) und komme auf
stimmt das so?
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

hmm wie bestimme ich denn jetzt die anzahl der kunden, die innerhalb von 2 wochen von p nach q oder r wechseln?
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

also:

da es innerhalb von zwei wochen sein müssen, muss es ja heißen K²


wenn ich nun K*K berechne bekomme ich ja K² heraus

dies lautet dann folgendermaßen:



kann es sein, dass ich jetzt hieraus die stationäre verteilung berechnen muss?
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

mit der stationären verteilung bekomme ich das nicht hin??? was muss ich da denn machen verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Der zweite Eintrag in der dritten Zeile muss eine 0,4 sein.

Ansonsten stimmts jetzt Freude

Zitat:
da berechne ich einfach K* den Vektor (900/400/800) und komme auf
stimmt das so?


Ja, ist genau richtig smile

Zitat:


Ja, habe ich auch raus.

Mit stationärer Verteilung hat das jetzt nichts zu tun.

Die Antwort auf die Frage welcher Anteil der Kunden innerhalb von zwei Wochen von P nach Q oder R gewechselt sind findest du in dieser Matrix, nämlich zwei Einträge dieser Matrix geben gerade diese Anteil an.
Versuche vielleicht aus der Matrix einen Zustandsgraphen zu machen, dann siehst du es vielleicht einfacher.

Bei der letzten Aufgabe musst du dann mit einem CAS die Grenzmatrix bestimmen.
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt, dass von P nach Q 0,17 und von P nach R 0,3 Kunden wechseln.

aber man kann ja nicht 0,17 und 0,3 Kunden sagen

insgesamt gibt es ja 2100 kunden

muss ich dann 0,17*2100 und 0,3*2100 berechnen verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau...prima

Es ist ja nach dem Anteil der Kunden gefragt, also 30 % und 17 %
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

super vielen dank björn,

bei der aufgabe 6 ist ja nach dem kaufverhalten der 20. Kalenderwoche gefragt. da muss ich doch nicht die grenzmatrix berechnen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache ucar Wink

Aufgabe 6 war das ja mit dem Vektor

Das ist auch schon das Ergebnis und da beim Supermarkt Q KEINE Kunden waren ist es ja offensichtlich dass da soviel Werbung gemacht wurde.

Aufgabe 7 ist dann mit Grenzmatrix Augenzwinkern

Gruß Björn
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

hmm kannst du mir vielleicht noch kurz erklären, wie das mit der grenzmatrix ging???? wäre super nett Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm....ist schwer zu erklären...dürft ihr das denn mit Taschenrechner bzw CAS machen ?
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt bis zu K^16 gerechnet und habe die folgende Grenzmatrix herausbekommen




dürfte das so stimmen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch raus smile

Nur in der ersten Zeile immer 0,32 Augenzwinkern

Kannst du daraus deuten wie die langfristige Kundenverteilung aussehen wird ?
ucar Auf diesen Beitrag antworten »

prozentualer Anteil der Kunden:

P ungefähr 32%
Q ungefähr 26%
R ungefähr 42%

ich denke, dass das so hinkommt, da die Summe ja 100% beträgt...

Tanzen

Freude vielen vielen dank für deine hilfen björn Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau Freude

Hast du ja super hinbekommen.

Wünsch dir dann noch nen schönen Abend (Nacht) und weiterhin viel Erfolg.

Gute Nacht Wink

Gruß Björn
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